本文講解FIR濾波器的第二種設(shè)計(jì)方法——頻率取樣法。

我們?cè)谏弦黄哪┪惨苍偨Y(jié)過(guò)，窗函數(shù)法是從時(shí)域出發(fā)的一種設(shè)計(jì)方法，不直觀。為什么呢？因?yàn)槲覀冊(cè)O(shè)計(jì)濾波器更關(guān)注的是它的頻率特性（至少在現(xiàn)階段是如此），可不可以直接從它的頻率性能出發(fā)來(lái)設(shè)計(jì)濾波器呢？當(dāng)然可以，這就是本篇我們要說(shuō)的“頻率取樣法”。

三頻率取樣法

1. 設(shè)計(jì)原理

顧名思義，頻率取樣法，就是在頻域上取樣，取誰(shuí)的樣？當(dāng)然是取濾波器的頻率響應(yīng)，也就是說(shuō)：

得到的這N個(gè)離散樣本值之后，下面怎么辦？

我們知道，本章我們?cè)O(shè)計(jì)濾波器的終極目標(biāo)（現(xiàn)階段哈，理論上的終極目標(biāo)）就是得到描述濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù)。而對(duì)于FIR濾波器，分母為1，分子系數(shù)就是其單位沖激響應(yīng)h(n)。所以，下一步，就是求出h(n)。

得出了H(k)，怎么得到h(n)呢？該我們學(xué)過(guò)的法寶DFT隆重登場(chǎng)了，只不過(guò)這次是逆變換：IDFT。

好啦，現(xiàn)階段終極目標(biāo)實(shí)現(xiàn)了。看上去似乎很簡(jiǎn)單，但是......拿這個(gè)h(n)當(dāng)我們的終極目標(biāo)，靠譜嗎？

所以我們需要分析一下，這個(gè)h(n)代表的濾波器的濾波特性到底如何？能不能達(dá)到設(shè)計(jì)指標(biāo)要求？

通過(guò)前面學(xué)習(xí)窗函數(shù)法，我們知道，窗函數(shù)法得到的h(n)是對(duì)理想濾波器的hd(n)進(jìn)行截?cái)嗟玫降?，所以濾波性能比理想濾波器差。那么，我們通過(guò)前面的過(guò)程得到的h(n)，它與理想濾波器的hd(n)，又是什么關(guān)系呢？或者說(shuō)，h(n)代表的實(shí)際FIR系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(e^jw)，與hd(n)代表的理想濾波器頻率響應(yīng)Hd(e^jw)，是什么關(guān)系呢？下面用兩種方法進(jìn)行分析：

2. 逼近誤差

第一種分析方法：分析h(n)與hd(n)的關(guān)系

我們的“時(shí)頻域終極對(duì)應(yīng)關(guān)系”——一個(gè)域離散抽樣，另外一個(gè)域周期延拓，又要登場(chǎng)了?？聪聢D：

圖1

頻域上，將Hd(e^jw)以2Π/N為間隔離散抽樣，對(duì)應(yīng)到時(shí)域上，就是將hd(n)以N為周期延拓。而DFT是時(shí)域頻域都取主值區(qū)間，所以用公式來(lái)描述這句話，就是：

看到這里，我們就要想到了，hd(n)是無(wú)限長(zhǎng)的，把它周期延拓肯定會(huì)混疊啊，再取主值區(qū)間得到的h(n)，其數(shù)值肯定與hd(n)不同了。也正是因?yàn)檫@個(gè)”混疊“，才導(dǎo)致我們得到的FIR的頻率響應(yīng)H(e^jw)，肯定不如理想濾波器的Hd(e^jw)。

第二種分析方法：分析H(e^jw)與Hd(e^jw)的關(guān)系

繼續(xù)前面一句話，H(e^jw)不如Hd(e^jw)，到底哪里不如呢？H(e^jw)表示不服氣“說(shuō)我不好，給出證據(jù)來(lái)！”

我們知道，Hd(e^jw)是理想濾波器的頻響，它的模樣我們很清楚，表達(dá)式我們也能寫出來(lái)，以低通為例，就是下面的樣子：

圖2

我們自家的孩子H(e^jw)，是什么樣子呢？表達(dá)式能不能求出來(lái)呢？

我們回到圖1：H(e^jw)是h(n)的傅里葉變換（DTFT），而h(n)的DFT是H(k)，根據(jù)前面所學(xué)，DFT就是DTFT一個(gè)周期（[0~2Π]）的N個(gè)等間隔抽樣值。根據(jù)頻域抽樣中所學(xué)的“頻域的插值恢復(fù)”，有下面的公式來(lái)表示H(e^jw)：

圖3

抱歉，我知道這個(gè)公式很煩人，可是不把它擺出來(lái)，不能讓自家的孩子H(e^jw)心服口服啊。

說(shuō)了這么多，理順一下：頻率取樣法的思路是：把完美無(wú)缺的別人家的孩子Hd(e^jw)，離散抽樣出N個(gè)點(diǎn)，得到H(k)，然后把H(k)求N點(diǎn)IDFT，得到h(n)，這就是我們自家的孩子，它的頻率響應(yīng)H(e^jw)是什么呢？就是我們圖3中的內(nèi)插公式來(lái)表示。

下面用圖形直觀說(shuō)明自家的孩子與別人家孩子的差距，以低通濾波器為例。

圖4

圖4中，藍(lán)色虛線是“別人家的孩子”——理想低通濾波器的幅頻特性，截止頻率為π/3，按照頻率取樣法（點(diǎn)數(shù)N=15，如圖中藍(lán)色空心圓點(diǎn)所示，因?yàn)閳D中只給出了0~π范圍內(nèi)的圖，所以只顯示7個(gè)點(diǎn)）。

需要強(qiáng)調(diào)說(shuō)明的是，H(k)是理想低通的頻譜取樣值（包括幅度和相位），而我們畫圖時(shí)，為了簡(jiǎn)便，只給出幅度函數(shù)。

按照這些離散的頻率樣值點(diǎn)內(nèi)插得到的實(shí)際濾波器（也就是自家的孩子）的幅頻特性是什么樣的呢？是圖4中的黑色實(shí)線。

哇，不比不知道，一比嚇一跳。自家孩子的差距一目了然。第一個(gè)缺點(diǎn)：通帶和阻帶之間出現(xiàn)了過(guò)渡帶；第二個(gè)缺點(diǎn)：通帶和阻帶內(nèi)出現(xiàn)了起伏。

這兩個(gè)缺點(diǎn)能不能克服呢？

首先看第一個(gè)缺點(diǎn)，能不能盡量減小過(guò)渡帶呢？顯然是可以的，過(guò)渡帶寬度≈兩個(gè)相鄰采樣點(diǎn)的距離，即2π/N。那么，增大N，過(guò)渡帶就可以變窄。

我們把N從15增大到75點(diǎn)（如圖中紅色實(shí)心小圓點(diǎn)，0-π之間是38個(gè)），再利用這75個(gè)頻率取樣值內(nèi)插得到的FIR濾波器的頻率響應(yīng)，如圖5中的紅色實(shí)線，果然，過(guò)渡帶變窄了。

圖5

但是，我們比較圖5中的紅色實(shí)線與黑色實(shí)線，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，雖然遠(yuǎn)離截止頻率的通帶和阻帶內(nèi)部，紅色實(shí)線的起伏小于黑色實(shí)線，但是第一旁瓣的起伏并不能顯著改變，也就是說(shuō)，增大N不能減小阻帶最小衰減。

老母親在剛剛要長(zhǎng)舒一口氣時(shí)，又絕望地發(fā)現(xiàn)，自家孩子的第二個(gè)缺點(diǎn)是基因造成的，無(wú)法改變。

不要絕望，雖然無(wú)法徹底根除，但能不能稍加改善呢？這就是我們的第三個(gè)問(wèn)題：改進(jìn)措施。

3.改進(jìn)措施

要想改進(jìn)，先找原因。產(chǎn)生起伏的原因，是因?yàn)闃颖局礖(k)突然從1變?yōu)?（間斷點(diǎn)），如果我們讓它變得慢一點(diǎn)，就有望減小起伏。也就是說(shuō)：

在頻率響應(yīng)間斷點(diǎn)附近區(qū)間插入一個(gè)或幾個(gè)過(guò)渡采樣點(diǎn)，使不連續(xù)點(diǎn)變成緩慢過(guò)渡帶。圖5所示為插入一個(gè)過(guò)渡采樣點(diǎn)的示例。

圖5

插入m個(gè)過(guò)渡點(diǎn)，過(guò)渡帶寬度近似為：(m+1)×2Π/N

過(guò)渡點(diǎn)個(gè)數(shù)m與濾波器阻帶最小衰減之間的關(guān)系有一些經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，如下表所示。

而且，過(guò)渡采樣點(diǎn)的數(shù)值需要進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，不同的取值，會(huì)影響阻帶衰減。

看來(lái)，改造自家孩子，向著別人家孩子逼近，是一項(xiàng)光榮而艱巨的、近乎不可完成的任務(wù)啊。

老母親們?cè)撛趺崔k呢？第一，選定方法，用什么方法來(lái)設(shè)計(jì)你自家的孩子，窗函數(shù)法、還是頻率取樣法，抑或是我們這里沒(méi)講到的最優(yōu)化的方法......；第二，既然選定這種方法，說(shuō)明它肯定有吸引你的優(yōu)點(diǎn)，但是同時(shí)，你只能坦然接受這種方法命中注定的缺點(diǎn)。如果你發(fā)現(xiàn)這個(gè)缺點(diǎn)你無(wú)法接受，那對(duì)不起，你只好推翻重來(lái)，重新用其他方法來(lái)設(shè)計(jì)你的濾波器。

當(dāng)然了，濾波器可以重新設(shè)計(jì)，但孩子只能養(yǎng)一次，就好比發(fā)射衛(wèi)星，一旦發(fā)射失敗了，只好重新造一顆了。