FPGA (Field Programmable Gate Aray,現(xiàn)場(chǎng)可編程門陣列)是一種可通過重新編程來實(shí)現(xiàn)用戶所需邏輯電路的半導(dǎo)體器件。為了便于大家理解FPGA的設(shè)計(jì)和結(jié)構(gòu)，我們先來簡(jiǎn)要介紹一些邏輯電路的基礎(chǔ)知識(shí)。

1.邏輯代數(shù)

邏輯代數(shù)中的變量稱為邏輯變量，用大寫字母表示。邏輯變量的取值只有兩種，即邏輯0和邏輯1，0 和 1 稱為邏輯常量，并不表示數(shù)量的大小，而是表示兩種對(duì)立的邏輯狀態(tài)，即稱為邏輯0狀態(tài)和邏輯1狀態(tài)。邏輯代數(shù)是由和邏輯值(0和1)相關(guān)的邏輯與( AND)、邏輯或(OR)和邏輯非(NOT)三種運(yùn)算形成的代數(shù)體系，也稱為布爾代數(shù)。

邏輯代數(shù)分為兩種：一種是從一種狀態(tài)變?yōu)榱硪环N狀態(tài)的邏輯，稱為一元邏輯；另外一種是兩種狀態(tài)中按照某種規(guī)則（比如比較大小）有傾向性的選擇出其中一種狀態(tài)的邏輯，稱為二元邏輯。圖1列出了定義邏輯與、邏輯或的二元邏輯運(yùn)算以及定義邏輯非的一元邏輯運(yùn)算。在這里，三種運(yùn)算分別使用“·”“+”和“ˉ”運(yùn)算符號(hào)來表示。邏輯與x?y是指x和y都為1時(shí)，結(jié)果為1的運(yùn)算。邏輯或x+y是指x或y至少有一方為1時(shí)，結(jié)果為1的運(yùn)算。邏輯非“x(ˉ)" 是取相反邏輯值的一元運(yùn)算:如果x為0則結(jié)果為1;反之，如果x為1則結(jié)果為0。

表1 邏輯運(yùn)算(布爾代數(shù)的公理)

邏輯代數(shù)滿足表2所示的定理。這里的符號(hào)“=”表示其兩邊的計(jì)算結(jié)果總是相等，即等價(jià)。如果對(duì)換邏輯表達(dá)式中的邏輯值0和1、邏輯運(yùn)算“與”和“或”，對(duì)換后得到的新邏輯表達(dá)式與對(duì)換前的表達(dá)式運(yùn)算順序不變，那么新邏輯表達(dá)式就稱為原邏輯表達(dá)式的對(duì)偶式。邏輯代數(shù)中，如果某定理的邏輯表達(dá)式成立，其對(duì)偶式也成立。

表2 布爾代數(shù)的定理

2.邏輯表達(dá)式

邏輯表達(dá)式是用來描述邏輯運(yùn)算過程的算式，由邏輯運(yùn)算符、任意數(shù)量的邏輯變量以及必要的括號(hào)和常數(shù)值0或1組合而成。對(duì)于包含n個(gè)邏輯變量X1,X2,X3…Xn的邏輯表達(dá)式來說，我們先在其各個(gè)邏輯變量?jī)?nèi)代入邏輯值0或1,形成任意組合(共2n組),然后依照邏輯表達(dá)式的計(jì)算步驟計(jì)算這些組合，就可以得到值為0或1的計(jì)算結(jié)果。也就是說，邏輯表達(dá)式定義了具有某種邏輯功能的邏輯函數(shù)F(X1,X2,X3…Xn)。在邏輯表達(dá)式中，沒有括號(hào)的情況下，邏輯與的計(jì)算優(yōu)先于邏輯或。邏輯與的運(yùn)算符“·”也可省略。

任何邏輯函數(shù)都可以由邏輯表達(dá)式來描述，而且描述同一邏輯函數(shù)的邏輯表達(dá)式可以有多個(gè)。邏輯表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)形式指的是通過增加表達(dá)式形式上的限制，使得一個(gè)邏輯函數(shù)只有一個(gè)邏輯表達(dá)式與之對(duì)應(yīng)的情況。邏輯表達(dá)式中，邏輯變量以原變量或反變量的形式出現(xiàn)。原變量和反變量統(tǒng)稱為字面量( literal)。字面量的邏輯與(每個(gè)字面量不能出現(xiàn)多次)叫作與項(xiàng)，與項(xiàng)的邏輯或運(yùn)算叫作積之和。包含所有字面量的與項(xiàng)稱為最小項(xiàng)，由最小項(xiàng)構(gòu)成的積之和稱為標(biāo)準(zhǔn)積之和(標(biāo)準(zhǔn)積)。將標(biāo)準(zhǔn)積的邏輯與和邏輯或?qū)φ{(diào)即為標(biāo)準(zhǔn)和之積。字面量的邏輯或(每個(gè)字面量不能出現(xiàn)多次)叫作或項(xiàng)，或項(xiàng)的邏輯與運(yùn)算叫作和之積。包含所有邏輯變量的或項(xiàng)稱為最大項(xiàng)，由最大項(xiàng)構(gòu)成的和之積稱為標(biāo)準(zhǔn)和之積(標(biāo)準(zhǔn)和)。

3.真值表

除了邏輯表達(dá)式，邏輯函數(shù)的描述方法還包括真值表和邏輯門。針對(duì)邏輯函數(shù)所有可能的輸入組合一一列出輸出值，我們就可以得到真值表。對(duì)于組合邏輯電路，只要列出所有可能的輸入和對(duì)應(yīng)的輸出值，就可以完整地描述電路功能。因此，電路功能通常使用真值表描述。輸入的個(gè)數(shù)為n時(shí)，真值表的組合數(shù)為2n。真值表中，需要記入每組輸人值所對(duì)應(yīng)的輸出值。

描述邏輯函數(shù)的邏輯表達(dá)式可以有許多個(gè)，而描述邏輯函數(shù)的真值表卻是唯一的。雖然一個(gè)邏輯表達(dá)式只描述一個(gè)邏輯函數(shù)，但一個(gè)邏輯函數(shù)可以通過無數(shù)的等價(jià)邏輯表達(dá)式來描述。實(shí)現(xiàn)真值表所定義的功能的電路稱為查找表( Look-up Table, LUT), 是當(dāng)前主流FPGA的基本單元。

從真值表推導(dǎo)邏輯表達(dá)式的形式有兩種:“積之和表達(dá)式”與“和之積表達(dá)式”。在真值表輸出為1的行中取輸人變量的與項(xiàng)(最小項(xiàng))，然后將這些最小項(xiàng)相或，即可得到標(biāo)準(zhǔn)積之和表達(dá)式;相對(duì)地，在真值表輸出為0的行中取輸人變量的反變量的或項(xiàng)(最大項(xiàng)),然后將這些最大項(xiàng)相與，即可導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)和之積表達(dá)式。圖1中的示例展示了如何從真值表推導(dǎo)邏輯表達(dá)式。

圖1 真值表推導(dǎo)邏輯表達(dá)式示例

邏輯電路是一種離散信號(hào)的傳遞和處理，以二進(jìn)制為原理、實(shí)現(xiàn)數(shù)字信號(hào)邏輯運(yùn)算和操作的電路。分組合邏輯電路和時(shí)序邏輯電路。前者由最基本的“與門”電路、“或門”電路和“非門”電路組成，其輸出值僅依賴于其輸入變量的當(dāng)前值，與輸入變量的過去值無關(guān)—即不具記憶和存儲(chǔ)功能；后者也由上述基本邏輯門電路組成，但存在反饋回路—它的輸出值不僅依賴于輸入變量的當(dāng)前值，也依賴于輸入變量的過去值。

4.組合邏輯電路

邏輯電路根據(jù)是否包含記憶元件，分為組合邏輯電路和時(shí)序邏輯電路。組合邏輯電路不包含記憶元件。其時(shí)間點(diǎn)的輸出(邏輯函數(shù)值)僅取決于當(dāng)時(shí)的輸入，而與電路以前狀態(tài)無關(guān)，而與其他時(shí)間的狀態(tài)無關(guān)。組合邏輯電路允許有多個(gè)輸入/輸出，其內(nèi)部由用于計(jì)算邏輯與( AND)、邏輯或(OR)和邏輯非(NOT)等基本邏輯函數(shù)的邏輯門( gate),以及門電路間的連線組成。邏輯與、邏輯或和邏輯非3種運(yùn)算相對(duì)應(yīng)的邏輯門分別被稱為與門、或門和非門。此外，其他較為常見的二項(xiàng)運(yùn)算邏輯門還有與非(NAND)門、或非(NOR)門、異或( EXOR)門等。與非門用來計(jì)算邏輯與的否定，或非門用來計(jì)算邏輯或的否定，而異或門用來計(jì)算異或邏輯。表3列出了這些邏輯門的符號(hào)(MIL符號(hào))、真值表和邏輯表達(dá)式。我們使用“⊕”表示邏輯異或的運(yùn)算符號(hào)。表中用來表示二項(xiàng)運(yùn)算的2輸人門電路符號(hào)，也可以用于表示具有3個(gè)以上輸人的運(yùn)算邏輯。目前主流的LSI技術(shù)CMOS中除了基本的與非門、或非門，還有OR-AND-NOT、AND-OR-NOT等復(fù)合門電路。

表3 邏輯門的符號(hào)、真值表、邏輯表達(dá)式

任何邏輯電路都可以由積之和表達(dá)式來描述。因此，使用NOT-AND-OR組合而成的組合邏輯電路可以實(shí)現(xiàn)任何邏輯函數(shù)，這種方式被稱為AND-OR邏輯電路或AND-OR陣列。實(shí)現(xiàn)AND-OR邏輯電路的器件有PLA ( Programmable Logic Array,可編程序邏輯陣列)等。

對(duì)于一個(gè)邏輯表達(dá)公式或邏輯電路，其真值表是唯一的，但其真值表對(duì)應(yīng)的邏輯電路或邏輯表達(dá)式可能有多種實(shí)現(xiàn)形式，所以，一個(gè)特定的邏輯問題，其對(duì)應(yīng)的真值表是惟一的，但實(shí)現(xiàn)它的邏輯電路是多種多樣的。在實(shí)際設(shè)計(jì)工作中，如果由于某些原因無法獲得某些門電路，可以通過變換邏輯表達(dá)式變電路，從而能使用其他器件來代替該器件。同時(shí)，為了使邏輯電路的設(shè)計(jì)更簡(jiǎn)潔，通過各方法對(duì)邏輯表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)是必要的。組合電路可用一組邏輯表達(dá)式來描述。設(shè)計(jì)組合電路直就是實(shí)現(xiàn)邏輯表達(dá)式。要求在滿足邏輯功能和技術(shù)要求基礎(chǔ)上，力求使電路簡(jiǎn)單、經(jīng)濟(jì)、可靠、實(shí)現(xiàn)組合邏輯函數(shù)的途徑是多種多樣的，可采用基本門電路，也可采用中、大規(guī)模集成電路。其一般設(shè)計(jì)步驟為：

（1） 分析設(shè)計(jì)要求，列真值表；

（2） 進(jìn)行邏輯和必要變換。得出所需要的最簡(jiǎn)邏輯表達(dá)式；

（3） 畫邏輯圖。

常用的邏輯組合電路包括，算數(shù)運(yùn)算電路（半加器、全加器和加法器）、編碼器、譯碼器、數(shù)據(jù)選擇器、數(shù)據(jù)分配器、和數(shù)值比較器。

5. 時(shí)序邏輯電路

含有記憶元件的邏輯電路被稱為時(shí)序邏輯電路。在組合邏輯電路中，當(dāng)前的輸出只取決于當(dāng)前的輸人。而在時(shí)序邏輯電路中，只知道當(dāng)前的輸人并不足以確定當(dāng)前的輸出。也就是說，時(shí)序邏輯電路是一種過去的電路狀態(tài)（之前的輸入）也會(huì)對(duì)輸出產(chǎn)生影響的邏輯電路。

時(shí)序邏輯電路分為同步時(shí)序邏輯電路和異步時(shí)序邏輯電路這兩種。同步時(shí)序邏輯電路中，輸人和內(nèi)部狀態(tài)的變化由時(shí)鐘信號(hào)控制同步進(jìn)行，而異步時(shí)序邏輯電路則不需要時(shí)鐘信號(hào)。由于FPGA電路設(shè)計(jì)一般使用同步時(shí)序邏輯電路，所以這里我們不對(duì)異步時(shí)序邏輯電路進(jìn)行過多討論，而我們常用的時(shí)序邏輯電路主要有觸發(fā)器、計(jì)數(shù)器、寄存器和順序脈沖發(fā)生器等。

時(shí)序邏輯電路的輸出值由輸人值和記憶元件的狀態(tài)值共同決定。也就是說，時(shí)序邏輯電路中過去的輸人所形成并保留下來的狀態(tài)對(duì)當(dāng)前的輸出具有影響。這種邏輯電路可描述為圖2所示的有限狀態(tài)機(jī)模型。圖2a所示的模型為米勒( Mealy )型時(shí)序邏輯電路，圖2b 所示的模型為摩爾(Moore)型時(shí)序邏輯電路。米勒模型的輸出由內(nèi)部狀態(tài)和輸人共同決定，而摩爾模型的輸出僅由內(nèi)部狀態(tài)決定。米勒模型的狀態(tài)數(shù)通常比摩爾模型的少，因此有電路規(guī)模較小的優(yōu)點(diǎn)。然而由于輸人會(huì)立刻反映到輸出，所以邏輯元件或不等長的布線所帶來的信號(hào)延遲等容易引起信號(hào)競(jìng)爭(zhēng)，進(jìn)而導(dǎo)致非預(yù)期的錯(cuò)誤輸出(冒險(xiǎn))。相比之下，摩爾模型直接使用記憶狀態(tài)的輸出，因此電路速度快且不易發(fā)生冒險(xiǎn)。但摩爾模型由于狀態(tài)數(shù)量多，電路規(guī)模也相對(duì)較大。

圖2 時(shí)序邏輯電路模型

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