1 hilbert變換

希爾伯特變換是以著名數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert）來命名。在數(shù)學(xué)與信號處理的領(lǐng)域中，一個實值函數(shù)的希爾伯特變換（Hilbert transform）——在此標(biāo)示為H——是將信號g（t）與1/（πt）做卷積，以得到g‘（t）。因此，希爾伯特變換結(jié)果g’（t）可以被解讀為輸入是g（t）的線性時不變系統(tǒng)（linear time invariant system）的輸出，而此系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為1/（πt）。

希爾伯特變換公式：

g（t） 的希爾伯特變換是 g（t） 與信號 1/πt 的卷積。 它是脈沖響應(yīng)為 1/πt 的線性時不變濾波器（稱為希爾伯特變換器）對 g（t） 的響應(yīng)。 希爾伯特變換 H［g（t）］ 通常表示為 ?g（t） 或 ［g（t）］∧。

傅立葉變換的相互作用

信號 1/（πt） 進(jìn)行傅立葉變換：

如果 g（t） 有傅里葉變換 G（f），那么，從傅里葉變換的卷積性質(zhì)，可知 ?g（t） 有傅里葉變換

希爾伯特實際上是一個使相位滯后pi/2的全通移相網(wǎng)絡(luò)。

2 希爾伯特變換意義

首先，將實數(shù)信號變換成解析信號的結(jié)果就是，把一個一維的信號變成了二維復(fù)平面上的信號，復(fù)數(shù)的模和幅角代表了信號的幅度和相位。

這樣看來，似乎復(fù)數(shù)信號才是完整的，而實信號只是在復(fù)平面的實軸上的一個投影。我們知道，解析信號可以計算包絡(luò)（瞬時振幅）和瞬時相位。實際上我們計算的包絡(luò)就是黑色的線圍成的立體圖形的邊界在實部的投影。

而計算這個邊的投影也很簡單，就是在復(fù)平面上的螺旋線中的每一個點的模值，也就是A（t） = sqrt（x^2（t） + Hilbert（x（t））^2），而瞬時相位就是虛部（Hilbert變換后的）和實部（原始信號）在某一時間點的比值的arctan，瞬時頻率就是它的導(dǎo)數(shù)。

3 matlab 希爾伯特變換

Hilbert 變換可用于形成解析信號。解析信號在通信領(lǐng)域中很有用，尤其是在帶通信號處理中。工具箱函數(shù) hilbert 計算實數(shù)輸入序列 x 的 Hilbert 變換，并返回相同長度的復(fù)數(shù)結(jié)果，即 y = hilbert（x），其中 y 的實部是原始實數(shù)數(shù)據(jù)，虛部是實際 Hilbert 變換。在涉及到連續(xù)時間解析信號時，y 有時被稱為解析信號。離散時間解析信號的關(guān)鍵屬性是它的 Z 變換在單位圓的下半部分為 0。解析信號的許多應(yīng)用都與此屬性相關(guān)；例如，用解析信號避免帶通采樣操作的混疊效應(yīng)。解析信號的幅值是原始信號的復(fù)包絡(luò)。

Hilbert 變換對實際數(shù)據(jù)作 90 度相移；正弦變?yōu)橛嘞?，反之亦然?/p>

close allclear allclc Fs =44100;%44.1khz fc =1000; %1khzN=8192;t=0：（100/Fs）：10; x=sin（2*pi*t）;y=hilbert（x）; figure（1），hold onplot（t，real（y），‘red’）;plot（t，imag（y））;hold offaxis（［0 10 -1.1 1.1］）legend（‘Real’，‘imaginary’）

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