1 hilbert變換

希爾伯特變換是以著名數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert）來(lái)命名。在數(shù)學(xué)與信號(hào)處理的領(lǐng)域中，一個(gè)實(shí)值函數(shù)的希爾伯特變換（Hilbert transform）——在此標(biāo)示為H——是將信號(hào)g（t）與1/（πt）做卷積，以得到g‘（t）。因此，希爾伯特變換結(jié)果g’（t）可以被解讀為輸入是g（t）的線性時(shí)不變系統(tǒng)（linear time invariant system）的輸出，而此系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為1/（πt）。

希爾伯特變換公式：

g（t） 的希爾伯特變換是 g（t） 與信號(hào) 1/πt 的卷積。 它是脈沖響應(yīng)為 1/πt 的線性時(shí)不變濾波器（稱(chēng)為希爾伯特變換器）對(duì) g（t） 的響應(yīng)。 希爾伯特變換 H［g（t）］ 通常表示為 ?g（t） 或 ［g（t）］∧。

傅立葉變換的相互作用

信號(hào) 1/（πt） 進(jìn)行傅立葉變換：

如果 g（t） 有傅里葉變換 G（f），那么，從傅里葉變換的卷積性質(zhì)，可知 ?g（t） 有傅里葉變換

希爾伯特實(shí)際上是一個(gè)使相位滯后pi/2的全通移相網(wǎng)絡(luò)。

2 希爾伯特變換意義

首先，將實(shí)數(shù)信號(hào)變換成解析信號(hào)的結(jié)果就是，把一個(gè)一維的信號(hào)變成了二維復(fù)平面上的信號(hào)，復(fù)數(shù)的模和幅角代表了信號(hào)的幅度和相位。

這樣看來(lái)，似乎復(fù)數(shù)信號(hào)才是完整的，而實(shí)信號(hào)只是在復(fù)平面的實(shí)軸上的一個(gè)投影。我們知道，解析信號(hào)可以計(jì)算包絡(luò)（瞬時(shí)振幅）和瞬時(shí)相位。實(shí)際上我們計(jì)算的包絡(luò)就是黑色的線圍成的立體圖形的邊界在實(shí)部的投影。

而計(jì)算這個(gè)邊的投影也很簡(jiǎn)單，就是在復(fù)平面上的螺旋線中的每一個(gè)點(diǎn)的模值，也就是A（t） = sqrt（x^2（t） + Hilbert（x（t））^2），而瞬時(shí)相位就是虛部（Hilbert變換后的）和實(shí)部（原始信號(hào)）在某一時(shí)間點(diǎn)的比值的arctan，瞬時(shí)頻率就是它的導(dǎo)數(shù)。

3 matlab 希爾伯特變換

Hilbert 變換可用于形成解析信號(hào)。解析信號(hào)在通信領(lǐng)域中很有用，尤其是在帶通信號(hào)處理中。工具箱函數(shù) hilbert 計(jì)算實(shí)數(shù)輸入序列 x 的 Hilbert 變換，并返回相同長(zhǎng)度的復(fù)數(shù)結(jié)果，即 y = hilbert（x），其中 y 的實(shí)部是原始實(shí)數(shù)數(shù)據(jù)，虛部是實(shí)際 Hilbert 變換。在涉及到連續(xù)時(shí)間解析信號(hào)時(shí)，y 有時(shí)被稱(chēng)為解析信號(hào)。離散時(shí)間解析信號(hào)的關(guān)鍵屬性是它的 Z 變換在單位圓的下半部分為 0。解析信號(hào)的許多應(yīng)用都與此屬性相關(guān)；例如，用解析信號(hào)避免帶通采樣操作的混疊效應(yīng)。解析信號(hào)的幅值是原始信號(hào)的復(fù)包絡(luò)。

Hilbert 變換對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)作 90 度相移；正弦變?yōu)橛嘞?，反之亦然?/p>

close allclear allclc Fs =44100;%44.1khz fc =1000; %1khzN=8192;t=0：（100/Fs）：10; x=sin（2*pi*t）;y=hilbert（x）; figure（1），hold onplot（t，real（y），‘red’）;plot（t，imag（y））;hold offaxis（［0 10 -1.1 1.1］）legend（‘Real’，‘imaginary’）

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