非線性規(guī)劃是一類在約束條件下優(yōu)化非線性目標(biāo)函數(shù)的問題。以下是幾個(gè)常見的非線性規(guī)劃算法：

1. 罰函數(shù)法

罰函數(shù)法通過懲罰不滿足約束條件的點(diǎn)，將非線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)無約束優(yōu)化問題。具體來說，定義一個(gè)罰函數(shù) ，它在可行域內(nèi)取值為0，否則為一個(gè)較大的正數(shù)。這樣，原問題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)帶有懲罰項(xiàng)的無約束優(yōu)化問題，即：

其中， 是一個(gè)較大的正數(shù)。

2. 信賴域法

信賴域法通過在每次迭代中構(gòu)建一個(gè)局部模型來近似原始問題，然后在局部模型上進(jìn)行優(yōu)化。優(yōu)化完成后，比較原始問題和局部模型的表現(xiàn)，決定是否接受求解結(jié)果或者繼續(xù)迭代。該方法的核心是信賴域半徑的精確定義和控制。

3. 內(nèi)點(diǎn)法

內(nèi)點(diǎn)法通過引入一個(gè)內(nèi)點(diǎn)路徑，使得每個(gè)迭代點(diǎn)都在可行域內(nèi)。具體來說，引入一個(gè)懲罰因子 ，并將目標(biāo)函數(shù) 中的約束條件 替換為一個(gè)懲罰項(xiàng) 。這樣，原問題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)無約束的優(yōu)化問題：

然后，通過一系列迭代，將 縮小至零，從而逐步逼近原始問題。

以上是幾個(gè)常見的非線性規(guī)劃算法示例。除此之外，還有很多其他的算法，例如擬牛頓法、次梯度法、粒子群算法等等。

使用罰函數(shù)法求解非線性規(guī)劃的簡單示例

在 MATLAB 中，可以使用 fmincon 函數(shù)來求解非線性規(guī)劃問題，其中包括罰函數(shù)法。fmincon 函數(shù)的使用方法非常靈活，可以通過修改參數(shù)來指定不同的算法、約束條件等。

以下是一個(gè)使用罰函數(shù)法求解非線性規(guī)劃的簡單示例：

假設(shè)有以下優(yōu)化問題：

滿足以下約束條件：

對(duì)于罰函數(shù)法，我們可以將上面的約束條件轉(zhuǎn)化為懲罰項(xiàng)，即：

然后將目標(biāo)函數(shù)和罰函數(shù)相加，得到無約束優(yōu)化問題：

其中 是一個(gè)較大的正數(shù)。

下面是 MATLAB 的代碼實(shí)現(xiàn)：

%定義目標(biāo)函數(shù)和約束條件
f=@(x)(x(1)-1)^2+x(2)^2;
g=@(x)[x(2)-x(1);x(1)+x(2)-1];

%定義罰函數(shù)
rho=10;
penalty=@(x)max(0,-g(x))^2;

%定義總目標(biāo)函數(shù)
F=@(x)f(x)+rho*penalty(x);

%定義初始點(diǎn)和約束條件
x0=[0;0];
A=[-11;11];
b=[0;1];

%調(diào)用fmincon函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化
options=optimoptions('fmincon','Display','iter');
[x,fval,eflag,output]=fmincon(F,x0,A,b,[],[],[],[],[],options);

在上面的代碼中，首先定義了目標(biāo)函數(shù) f 和約束條件 g，然后通過罰函數(shù)法將其轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題。最后，調(diào)用 fmincon 函數(shù)來求解優(yōu)化問題。

需要注意的是，使用罰函數(shù)法求解非線性規(guī)劃問題時(shí)，要根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的懲罰系數(shù) 。過小的 可能導(dǎo)致解不準(zhǔn)確，過大的 可能導(dǎo)致數(shù)值不穩(wěn)定。

審核編輯：湯梓紅