作者： Mustahsin Zarif

信號和系統(tǒng)是電氣工程的核心概念。利用這兩個(gè)概念，我們能夠模擬信息是如何通過電氣元件并被修改的。而且，一旦了解了不同的電氣元件如何影響電壓等信號，我們就可以設(shè)計(jì)電路，以任何我們想要的方式控制信號。我們竟然能夠使用電阻器、電容器和運(yùn)算放大器 (op-amps) 等電子元器件組合來模擬積分和微分等數(shù)學(xué)工具，這著實(shí)令人驚嘆。

例如以下電路（圖1）：

圖 1：簡單的積分電路。（圖片來源：Mustahsin Zarif）

進(jìn)入拉普拉斯 (Laplace) 域，我們可以用以下公式表示電路：

Vout = -(1/s) *(1/RC) *Vin

拉普拉斯域中的 1/s 實(shí)際上對應(yīng)于 積分 ！因此，我們得到一個(gè)基于運(yùn)算放大器的積分電路模型。然而，當(dāng)我們轉(zhuǎn)向現(xiàn)實(shí)世界時(shí)，系統(tǒng)會(huì)一直受到某種形式的隨機(jī)噪聲污染。

我們暫將積分電路放一放，來看一個(gè)更簡單的示例：電壓放大電路的輸入輸出波形可通過如圖 2 所示的示波器進(jìn)行測量。

圖 2：電壓放大器的輸入和輸出波形。（圖片來源：Mustahsin Zarif）

在可見正弦波上疊加的隨機(jī)噪聲有多種原因造成，例如因電路在面包上搭建而產(chǎn)生的電氣連接不良等問題。這種噪聲同樣會(huì)干擾積分器的波形，我們將在本信號處理系列后續(xù)的博客中對此進(jìn)行探討。然而，我們經(jīng)常考慮的是如何將隨機(jī)干擾最小化。

濾波技術(shù)

工程師喜歡采用濾波技術(shù)來克服這些難題。濾波技術(shù)可以分為 1) 有限脈沖響應(yīng) (FIR) 濾波器或 2) 無限脈沖響應(yīng) (IIR) 濾波器。

FIR 濾波器之所以如此命名，是因?yàn)槿魏螘r(shí)候的輸出僅取決于當(dāng)前和先前的輸入值值，而不取決于之前的輸出值。因此，這種濾波器具有非遞歸結(jié)構(gòu)，沒有反饋，可按照公式 1 建模。

公式 1：FIR 濾波器示例公式。（圖片來源：Mustahsin Zarif）

積分器電路就如一個(gè) FIR 濾波器，因?yàn)槠漭敵鰞H取決于輸入。

另一方面，IIR 濾波器具有反饋，因?yàn)槿魏螘r(shí)候的輸出都取決于先前的輸出以及當(dāng)前輸入。這種情況下，可按照公式 2 建模。

公式 2：IIR 濾波器示例公式。（圖片來源：Mustahsin Zarif）

圖 3 是 可直觀表示 IIR 濾波器的框圖，顯示了輸入和輸出如何延遲 (z-i, z-j)、縮放 (ai, bj) 以及相加后獲得出當(dāng)前輸出。通過改變這些值，我們可以實(shí)現(xiàn)不同類型的濾波器。

圖 3：IIR 濾波器框圖。（圖片來源：Mustahsin Zarif）

如果我們想要一個(gè)無反饋的 FIR 濾波器框圖，y[n] 就只是第一次求和的結(jié)果（圖 4）。

圖 4：FIR 濾波器框圖。（圖片來源：Mustahsin Zarif）

現(xiàn)在，我們已經(jīng)掌握了 FIR 和 IIR 濾波器的基礎(chǔ)知識(shí)，接下來用一個(gè)例子來說明我們所學(xué)到的知識(shí)：移動(dòng)平均濾波器。

移動(dòng)平均線的工作方式是求出當(dāng)前輸入和一定數(shù)量先前輸入的平均值（公式 3）。

公式3：移動(dòng)平均公式。（圖片來源：Mustahsin Zarif）

其中 N= 窗口大小/影響輸出結(jié)果的樣本數(shù)

由此看出，這是一個(gè) FIR 濾波器，因?yàn)榈仁接覀?cè)沒有 y 項(xiàng)。

不過，我們可以巧妙地重組方程，來構(gòu)造一個(gè) IIR 濾波器。請考慮以下情況：

令 N=5，則

y[5] = (x[5]+x[4]+x[3]+x[2]+x[1])/5，

且 y[6] = (x[6]+x[5]+x[4]+x[3]+x[2])/5

y[6]=(x[6]+y[5]-x[1])/5

因此，當(dāng)前輸出目前取決于之前的輸出（y[6] 取決于 y[5]）！

更普遍地來說，

y[n] = (y[n ? 1] + x[n] ? x[n ? N - 1])/N

其中 N = 窗口大小

該濾波器在平滑時(shí)域信號方面效果奇佳，如圖 5 所示，我使用 python 對窗口大小 N = 11 進(jìn)行了模擬。

圖 5：使用 Python 模擬移動(dòng)濾波器。（圖片來源：Mustahsin Zarif）

移動(dòng)濾波器的 Python 模擬代碼：

Copyimport numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt



# Parameters for the sinusoidal wave

frequency = 5  # in Hertz

sampling_rate = 100  # Sampling rate in samples per second

duration = 2  # in seconds



# Generate time axis

t = np.linspace(0, duration, int(sampling_rate * duration), endpoint=False)



# Generate a clean sinusoidal signal

clean_signal = np.sin(2  np.pi  frequency * t)



# Add random, white (Gaussian) noise to the signal

noise_amplitude = 0.5

noisy_signal = clean_signal + noise_amplitude * np.random.normal(size=t.shape)



def moving_average(signal, window_size):

    window = np.ones(window_size) / window_size

    return np.convolve(signal, window, mode='same') 



# Apply moving average to the noisy signal

window_size = 11

smoothed_signal_ma = moving_average(noisy_signal, window_size)



# Plot the noisy and smoothed signals

plt.figure(figsize=(12, 9))



plt.subplot(2, 1, 1)

plt.plot(t, noisy_signal, label='Noisy Signal', color='orange')

plt.title('Noisy Sinusoidal Signal')

plt.xlabel('Time [s]')

plt.ylabel('Amplitude')

plt.grid(True)

plt.legend()



plt.subplot(2, 1, 2)

plt.plot(t, smoothed_signal_ma, label='Smoothed Signal (MA)', color='green')

plt.title('Smoothed Signal using Moving Average')

plt.xlabel('Time [s]')

plt.ylabel('Amplitude')

plt.grid(True)

plt.legend()



plt.tight_layout()

plt.show()

結(jié)束語

本博客的開頭介紹了現(xiàn)實(shí)世界中噪音是如何破壞數(shù)據(jù)的。盡管無法獲得數(shù)學(xué)方程定義的理想響應(yīng)，但我們可以通過過濾掉所采集數(shù)據(jù)中的不良特性，使其盡可能接近理想響應(yīng)。有多種方法可以實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)，并且也有多種我們想要實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)的場景。雖然我們以移動(dòng)平均濾波器的模擬響應(yīng)結(jié)束了本篇博客，但在下一篇博客中，我們將研究指數(shù)移動(dòng)平均濾波器如何平滑嘈雜的慣性測量單元 (IMU) 數(shù)據(jù)！