蒙特卡羅模擬簡(jiǎn)介

　　蒙特·卡羅方法（Monte Carlo method），也稱(chēng)統(tǒng)計(jì)模擬方法，是二十世紀(jì)四十年代中期由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明，而被提出的一種以概率統(tǒng)計(jì)理論為指導(dǎo)的一類(lèi)非常重要的數(shù)值計(jì)算方法。是指使用隨機(jī)數(shù)（或更常見(jiàn)的偽隨機(jī)數(shù)）來(lái)解決很多計(jì)算問(wèn)題的方法。與它對(duì)應(yīng)的是確定性算法。蒙特·卡羅方法在金融工程學(xué)，宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)，計(jì)算物理學(xué)（如粒子輸運(yùn)計(jì)算、量子熱力學(xué)計(jì)算、空氣動(dòng)力學(xué)計(jì)算）等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。

　　蒙特卡羅模擬因摩納哥著名的賭場(chǎng)而得名。它能夠幫助人們從數(shù)學(xué)上表述物理、化學(xué)、工程、經(jīng)濟(jì)學(xué)以及環(huán)境動(dòng)力學(xué)中一些非常復(fù)雜的相互作用。

　　數(shù)學(xué)家們稱(chēng)這種表述為“模式”，而當(dāng)一種模式足夠精確時(shí)， 他能產(chǎn)生與實(shí)際操作中對(duì)同一條件相同的反應(yīng)。但蒙特卡羅模擬有一個(gè)危險(xiǎn)的缺陷： 如果必須輸入一個(gè)模式中的隨機(jī)數(shù)并不像設(shè)想的那樣是隨機(jī)數(shù)， 而卻構(gòu)成一些微妙的非隨機(jī)模式， 那么整個(gè)的模擬（及其預(yù)測(cè)結(jié)果）都可能是錯(cuò)的。

　　蒙特卡羅法優(yōu)點(diǎn)：

　　1.方法的誤差與問(wèn)題的維數(shù)無(wú)關(guān)。

　　2.對(duì)于具有統(tǒng)計(jì)性質(zhì)問(wèn)題可以直接進(jìn)行解決。

　　3.對(duì)于連續(xù)性的問(wèn)題不必進(jìn)行離散化處理

　　蒙特卡羅法缺點(diǎn)：

　　1.對(duì)于確定性問(wèn)題需要轉(zhuǎn)化成隨機(jī)性問(wèn)題。

　　2.誤差是概率誤差。

　　3.通常需要較多的計(jì)算步數(shù)N.

　　蒙特卡羅方法的缺點(diǎn)及其改進(jìn)

　　我們知道，蒙特卡羅方法是非常好用來(lái)做積分的。如果要算一個(gè)函數(shù)f（x）在區(qū)間［a，b］內(nèi)的積分，我們可通過(guò)計(jì)算機(jī)利用蒙特卡羅方法來(lái)計(jì)算出積分近似值。即先估計(jì)一個(gè)比f(wàn)（x）在區(qū)間［a，b］內(nèi)最大值還要大的c，（必須保證f（x）在區(qū)間［a，b］不小于0）然后不斷地在二維矩形區(qū)域［a，b］×［0，c］內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)對(duì)（e，f），判斷f與f（e）的大小，并統(tǒng)計(jì)f《f（e）的數(shù)量n，當(dāng)產(chǎn)生點(diǎn)的數(shù)量N足夠大時(shí)，計(jì)算出n/N*（b-a）*c，這就是函數(shù)f（x）在區(qū)間［a，b］內(nèi)的積分值。

　　對(duì)蒙特卡羅方法的改進(jìn)：如果要算一個(gè)函數(shù)f（x）在區(qū)間［a，b］內(nèi)的積分，令s=0，我們可以在區(qū)間［a，b］內(nèi)產(chǎn)生N個(gè)隨機(jī)數(shù)e，賦值：s+=f（e）/N（之所以這樣做是為了防止溢出），當(dāng)N足夠大時(shí)，計(jì)算s*（b-a），這就是函數(shù)f（x）在區(qū)間［a，b］內(nèi)的積分值。 改進(jìn)方法的優(yōu)點(diǎn)：

　　1.維度降低，節(jié)省一半產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的時(shí)間，

　　2.相對(duì)精度更高，由于蒙特卡羅方法矩形上界需要估計(jì)，因此帶來(lái)了一定的不確定性，估計(jì)值取得過(guò)大，顯著提升計(jì)算時(shí)間，估計(jì)值取得過(guò)小，就會(huì)出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤。而改進(jìn)方法不需要估計(jì)！

　　3.改進(jìn)方法可以求解蒙特卡羅方法所不能計(jì)算的積分，求解范圍更大，如果積分函數(shù)f（x）在區(qū)間［a，b］內(nèi)是無(wú)界的，或者積分函數(shù)f（x）在區(qū)間［a，b］內(nèi)有負(fù)值，蒙特卡羅方法就無(wú)法求解。

　　蒙特卡羅模擬基本原理及思想

　　當(dāng)所要求解的問(wèn)題是某種事件出現(xiàn)的概率，或者是某個(gè)隨機(jī)變量的期望值時(shí)，它們可以通過(guò)某種“試驗(yàn)”的方法，得到這種事件出現(xiàn)的頻率，或者這個(gè)隨機(jī)變數(shù)的平均值，并用它們作為問(wèn)題的解。這就是蒙特卡羅方法的基本思想。蒙特卡羅方法通過(guò)抓住事物運(yùn)動(dòng)的幾何數(shù)量和幾何特征，利用數(shù)學(xué)方法來(lái)加以模擬，即進(jìn)行一種數(shù)字模擬實(shí)驗(yàn)。它是以一個(gè)概率模型為基礎(chǔ)，按照這個(gè)模型所描繪的過(guò)程，通過(guò)模擬實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，作為問(wèn)題的近似解?？梢园衙商乜_解題歸結(jié)為三個(gè)主要步驟：構(gòu)造或描述概率過(guò)程；實(shí)現(xiàn)從已知概率分布抽樣；建立各種估計(jì)量。

　　蒙特卡羅模擬的應(yīng)用

　　通常蒙特卡羅模擬通過(guò)構(gòu)造符合一定規(guī)則的隨機(jī)數(shù)來(lái)解決數(shù)學(xué)上的各種問(wèn)題。對(duì)于那些由于計(jì)算過(guò)于復(fù)雜而難以得到解析解或者根本沒(méi)有解析解的問(wèn)題，蒙特卡羅模擬是一種有效的求出數(shù)值解的方法。一般蒙特卡羅模擬在數(shù)學(xué)中最常見(jiàn)的應(yīng)用就是蒙特卡羅積分。

　　蒙特卡羅算法表示采樣越多，越近似最優(yōu)解。舉個(gè)例子，假如筐里有100個(gè)蘋(píng)果，讓我每次閉眼拿1個(gè)，挑出最大的。于是我隨機(jī)拿1個(gè)，再隨機(jī)拿1個(gè)跟它比，留下大的，再隨機(jī)拿1個(gè)……我每拿一次，留下的蘋(píng)果都至少不比上次的小。拿的次數(shù)越多，挑出的蘋(píng)果就越大，但我除非拿100次，否則無(wú)法肯定挑出了最大的。這個(gè)挑蘋(píng)果的算法，就屬于蒙特卡羅算法。告訴我們樣本容量足夠大，則最接近所要求解的概率。

　　蒙特卡羅模擬在金融工程學(xué)，宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)，生物醫(yī)學(xué)，計(jì)算物理學(xué)（如粒子輸運(yùn)計(jì)算、量子熱力學(xué)計(jì)算、空氣動(dòng)力學(xué)計(jì)算）等領(lǐng)域也應(yīng)用廣泛。

　　計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，使得蒙特卡羅模擬在最近10年得到快速的普及。現(xiàn)代的蒙特卡羅模擬，已經(jīng)不必親自動(dòng)手做實(shí)驗(yàn)，而是借助計(jì)算機(jī)的高速運(yùn)轉(zhuǎn)能力，使得原本費(fèi)時(shí)費(fèi)力的實(shí)驗(yàn)過(guò)程，變成了快速和輕而易舉的事情。它不但用于解決許多復(fù)雜的科學(xué)方面的問(wèn)題，也被項(xiàng)目管理人員經(jīng)常使用。

　　借助計(jì)算機(jī)技術(shù)，蒙特卡羅模擬實(shí)現(xiàn)了兩大優(yōu)點(diǎn)：

　　一是簡(jiǎn)單，省卻了繁復(fù)的數(shù)學(xué)報(bào)導(dǎo)和演算過(guò)程，使得一般人也能夠理解和掌握；

　　二是快速。簡(jiǎn)單和快速，是蒙特卡羅方法在現(xiàn)代項(xiàng)目管理中獲得應(yīng)用的技術(shù)基礎(chǔ)

　　蒙特卡洛法之MATLAB實(shí)現(xiàn)

　　蒙特卡洛法（隨機(jī)取樣法）也稱(chēng)為計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法，它源于世界著名的賭城——Monte Carlo。它是基于對(duì)大量事件的統(tǒng)計(jì)結(jié)果來(lái)實(shí)現(xiàn)一些確定性問(wèn)題的計(jì)算。使用蒙特卡洛法必須使用計(jì)算機(jī)生成相關(guān)分布的隨機(jī)數(shù)。

　　eg：

　　y = x^2 ，y = 12 - x與X軸在第一象限與X軸圍成一個(gè)曲邊三角形。設(shè)計(jì)一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，求該圖形的近似值。

　　其圖形如下圖所示：

　　x=0:0.25:12

　　y1=x.^2;

　　y2=12-x;

　　plot（x，y1，x，y2）

　　xlabel（‘x’）;ylabel（‘y’）;

　　legend（‘y1=x^2’，‘y2=12-x’）;

　　title（‘王晨繪制’）;

　　axis（［0 15 0 15］）;

　　text（3，9，‘交點(diǎn)’）;

　　grid on12345678910

　　設(shè)計(jì)的隨機(jī)試驗(yàn)的思想如下：在矩形區(qū)域［0，12］*［0.9］上產(chǎn)生服從均與分布的10^7個(gè)隨機(jī)點(diǎn)，統(tǒng)計(jì)隨機(jī)點(diǎn)落在曲邊三角形內(nèi)的個(gè)數(shù)，則曲邊三角形的面積近似于上述矩形的面積乘以頻率

　　x=unifrnd（0，12，［1，10000000］）;

　　y=unifrnd（0，9，［1，10000000］）;

　　frequency=sum（y《x.^2 & x《=3）+sum（y《12-x & x》=3）

　　area=12*9*frequency/10^71234

　　其結(jié)果如下圖所示：