濾波器設(shè)計的逼近方法 - Butterworth, Chebyshev, Elliptic

引言

在學習濾波器設(shè)計時，書本上往往直接甩出濾波器的傳遞函數(shù)公式，讓人摸不著頭腦，到底這些傳遞函數(shù)公式是如何得來的呢？一般文章中也絕口不提其原理是什么，難道這背后是否有什么玄機，是不是隱藏著什么神秘的東西！

帶著疑問梳理了巴特沃斯(Butterworth)、切比雪夫(Chebyshev)、橢圓函數(shù)(Elliptic Function, Cauer)濾波器，終于對濾波器綜合和設(shè)計內(nèi)容有了比較系統(tǒng)的理解。如果大家有興趣對這部分內(nèi)容感興趣可以閱讀《威廉·卡爾(Wilhelm Cauer)的生活和工作》這篇文章，其中卡爾的網(wǎng)絡(luò)綜合綱領(lǐng)列出了濾波器綜合的3個問題，即

• 1, 可實現(xiàn)性(realizability)
• 2, 近似(approximation)
• 3, 實現(xiàn)與等價(realization and equivalence)

實際上這三個問題中第一個可實現(xiàn)性問題在當時已經(jīng)被解決了，即 正實函數(shù)(Positive-real function, PR, PRF) 可以被無源電路實現(xiàn)，隨著時代發(fā)展，這部分內(nèi)容已經(jīng)被歸入到信號與系統(tǒng)中。

現(xiàn)在濾波器設(shè)計類書籍中討論最多的是第三個問題，即實現(xiàn)與等價，比如隨著計算機發(fā)展，我們還是沿著模擬濾波器的設(shè)計思路在設(shè)計數(shù)字濾波器，并且在不同平臺中實現(xiàn)，如何讓資源最小，速度最快等等方向發(fā)展；另外往高頻方向發(fā)展就引出了微波射頻濾波器，如微帶濾波器，腔體濾波器等等?，F(xiàn)在工程中濾波器設(shè)計也主要集中在這一方面；有源器件發(fā)展的進步也豐富了濾波器設(shè)計。

現(xiàn)在關(guān)注最少的就是沒有被提及的第二個問題，即近似(逼近，Approximation)，濾波器近似可以說不是工程師的強項，因為這涉及到太多太復(fù)雜的數(shù)學知識，從濾波器名字可以看出，這里用到了多少數(shù)學知識：

可以看到一票的數(shù)學家，這方面發(fā)展現(xiàn)在主要集中在數(shù)學領(lǐng)域，比如逼近論就是數(shù)學的一個分支。

本文并不會嚴格的對數(shù)學公式進行推導(dǎo)，只是從工程師角度去直觀理解濾波器設(shè)計所用的逼近方法，讓人不再對濾波器設(shè)計存在盲區(qū)和疑惑。

另外下述討論的濾波器設(shè)計逼近方法都是針對低通濾波器而言。

下圖是對濾波器綜合設(shè)計流程的梳理：

在濾波器逼近中最重要的是一步就是確定 約束條件 ，通俗一點講就是提指標。下述濾波器逼近中單獨將約束條件作為一個小結(jié)來說明。

特征函數(shù)(The Characteristic Function)

在電路中，歷史上濾波器傳遞函數(shù)定義是:

由電壓轉(zhuǎn)到功率:

再由功率反射，得到反射系數(shù)，即反射到信號源的功率和輸入總功率的比值:

聯(lián)立(1),(2)得到：

令，得到

這里的就是 特征函數(shù) 。

特征函數(shù)有個好處是它只關(guān)注濾波器形狀本身，并不關(guān)心濾波器的這個低頻分量1，從而簡化了計算，以下我們對濾波器函數(shù)的逼近最終都逼近到特征函數(shù)為止。

濾波器的衰減用如下公式計算，單位為dB:

現(xiàn)在濾波器設(shè)計中我們往往使用如下傳遞函數(shù)表示幅頻響應(yīng)：

注意它的dB形式和衰減的dB形式函數(shù)圖像沿著橫坐標鏡像對稱。

巴特沃斯濾波器逼近

巴特沃斯濾波器是具有最平坦頻響特性的濾波器，如何理解這句話？在低通濾波器中，最平坦是指0頻率處有最平坦特性，假設(shè)特征多項式為，其中為截止頻率處的最大衰減量。

約束

由前面可知要實現(xiàn)一個可以綜合的網(wǎng)絡(luò)，首先我們要找到一個正實函數(shù)來逼近所需要的特性，要滿足0頻率處由最平坦特性，那么要求其：

• 1, 是一個階多項式(可實現(xiàn)性)
• 2, (低通定義，在頻率為0的位置無衰減)
• 3, (低通定義，截止頻率在1)
• 4, 在0頻率處各階導(dǎo)數(shù)為0(在最低頻率處具有最平坦特性)

函數(shù)逼近

由以上約束條件1，我們定義多項式為：

由約束條件2，得到：

由約束條件4，我們求其1階導(dǎo)數(shù)：

并且讓等于0，得到:

同理我們讓其2階導(dǎo)數(shù)為0，得到:

一直到第階導(dǎo)數(shù)為0，得到:

這時不能再求導(dǎo)，因為再求導(dǎo)就會使得，那么就不是一個階多項式了。 到這里特征多項式變?yōu)?

由約束條件3，得到：

最終得到巴特沃斯濾波器特征函數(shù)：

將巴特沃斯濾波器的幅頻響應(yīng)函數(shù)重寫如下：

擴展

若我們想要得到處具有最平坦響應(yīng)的低通濾波器，那么特征函數(shù)應(yīng)該是什么樣呢？

照例還是寫下約束條件：

• 1, 是一個階多項式(可實現(xiàn)性)
• 2, (低通定義，在頻率為0的位置無衰減)
• 3, (低通定義，截止頻率在1)
• 4, 在1/2頻率處各階導(dǎo)數(shù)為0(在最低頻率處具有最平坦特性)

m階導(dǎo)數(shù)等于0，且，且，得到個方程的方程組:

設(shè)，則有

解得：，最終得多項式為：

設(shè)，則有

解得：

最終得多項式為：

繪制5階和7階頻響曲線如下：

從頻響曲線可以看出，在處有最大平坦特性，在這里我們綜合出了一種特殊的濾波器！

比較這種B0p5(暫且叫做這個B0p5)濾波器和傳統(tǒng)的巴特沃斯濾波器特性，有圖有真相(圖中比較位置將巴特沃斯濾波器頻響往下移動并和B0p5重合，方便比較)：

結(jié)果顯示對于高階，B0p5和普通巴特沃斯在高頻抑制方面基本沒有太大區(qū)別，區(qū)別在于快接近截止頻率處B0p5要更為平坦，但是其代價就是犧牲了插損，差不多有1dB!有得必有失。

切比雪夫濾波器逼近

實際應(yīng)用巴特沃斯濾波器的過程中，有沒有發(fā)現(xiàn)一個問題，即巴特沃斯濾波器在截止頻率附近的衰減都比較大，比如要濾除一個點頻測試源的3次諧波，那么截止頻率設(shè)計值要比實際有用信號頻率值要高很多才不至于將我們關(guān)心的基波頻率衰減很多。這也從側(cè)面反應(yīng)了巴特沃斯濾波器的一個缺點是為了保證0頻率附近的平坦性，犧牲了其他頻率的插損。尤其頻率越高插損越大。

所以為了解決這個問題，人們改變了濾波器綜合思路，不再去強調(diào)某一個點的特性，我們關(guān)注一個頻段的特性，這也就是我們將要介紹的切比雪夫濾波器綜合所要討論的內(nèi)容。

切比雪夫濾波器特性是通帶范圍內(nèi)具有等紋波特性。假設(shè)特征多項式為，其中為通帶紋波。

約束

由前面可知要實現(xiàn)一個可以綜合的網(wǎng)絡(luò)，首先我們要找到一個正實函數(shù)來逼近所需要的特性，要滿足在通帶內(nèi)具有等紋波特性，那么要求其：

• 1, 是一個階多項式(可實現(xiàn)性)
• 2, (低通定義，截止頻率在1)
• 3, 在通帶內(nèi)擺動幅度在內(nèi)(通帶內(nèi)等紋波特性)
• 4, 是奇函數(shù)如果為奇數(shù); 是偶函數(shù)如果為偶數(shù)(可實現(xiàn)性，方便實現(xiàn))

函數(shù)逼近

這里為了簡單起見，只對進行討論，其他階數(shù)的任意階濾波器都可以用類似的方法去推導(dǎo)。 首先我們由約束2，3和4繪出階濾波器的的大致函數(shù)圖像(階函數(shù)具有個過0點)：

由約束1，令特征多項式為一個5次多項式：

若對這個方程求導(dǎo)，則得到一個4次方程，這個方程有4個根，由上述曲線極值點位置，可以得到這4個根，則列出第一個方程：

為了再和這些根扯上關(guān)系，繪出的函數(shù)圖像

那么依據(jù)過0點位置，我們又可以得到一組方程：

這里要注意，由于曲線在拐彎的位置是有兩個重根的，上式驗算下方程的方次也可以推算出來。 同理，我們繪出的函數(shù)圖像

那么依據(jù)過0點位置，我們還可以得到一組方程：

將(8)和(9)左右相乘得到：

將(7)和(10)聯(lián)立得到：

式(11)變形如下:

上式微分方程可以通過兩邊積分，得到：

于是得到時眾所周知的切比雪夫函數(shù)：

對于其他階數(shù)的切比雪夫濾波器，可以用同樣的辦法，最終得到階切比雪夫函數(shù)為：

另外，對于這個公式比較嚴謹?shù)耐茖?dǎo)見譯文《切比雪夫逼近方法》。

擴展

假設(shè)我們不關(guān)心低通濾波器的低頻第一個紋波，而是讓低頻到之間在之間等紋波，低頻之間有最大值，那么應(yīng)該如何進行函數(shù)逼近呢？ 照例列出約束條件：

• 1, 是一個階多項式(可實現(xiàn)性)
• 2, (低通定義，截止頻率在1)
• 3, 在通帶內(nèi)擺動幅度在內(nèi)(規(guī)定的通帶內(nèi)等紋波特性)
• 4, 是奇函數(shù)如果為奇數(shù); 是偶函數(shù)如果為偶數(shù)(可實現(xiàn)性，方便實現(xiàn))

PS. 這里暫時討論偶數(shù)階情況，具體的；奇數(shù)階情況非常復(fù)雜，留著以后討論。

則特征多項式為：

同樣的對其進行求導(dǎo)得到：

然后計算，得到：

然后計算，得到：

同樣將上式左右兩邊相乘：

將微分方程代入上式：

整理得到：

其中

所以最終結(jié)果為：

不同下繪圖：

!

實際上這種濾波器名叫Achieser–Zolotarev濾波器或Zolotarev濾波器，在數(shù)字濾波器和微波濾波器中有應(yīng)用。

橢圓函數(shù)濾波器逼近

由[模擬無源濾波器設(shè)計(六)-Chebyshev濾波器設(shè)計詳解]可知逆切比雪夫濾波器"具有最平坦的通帶頻率響應(yīng)，阻帶具有等紋波特性"，而同樣具有最平坦通帶響應(yīng)的巴特沃斯濾波器，同樣的階數(shù)，那么為什么逆切比雪夫濾波器過渡帶如此陡峭呢，究其原因就是因為逆切比雪夫濾波器的零點不在無窮遠，它以犧牲無窮遠處的衰減為代價換來了陡峭的過渡帶。

那么沿著同樣的思路，對于切比雪夫濾波器具有的無窮遠處的極點，我們是否也可以將其移動到有限位置，從而讓過渡帶更加陡峭呢，答案是肯定的，這就是這一節(jié)所介紹的橢圓函數(shù)濾波器。

橢圓函數(shù)濾波器是通帶和阻帶都具有等紋波特性的濾波器。假設(shè)特征多項式為，其中為通帶紋波。

約束

由前面可知要實現(xiàn)一個可以綜合的網(wǎng)絡(luò)，首先我們要找到一個正實函數(shù)來逼近所需要的特性，要滿足在通帶和阻帶內(nèi)都具有等紋波特性，那么要求其：

• 1, 是階的兩個有理數(shù)多項式之比(可實現(xiàn)性)
• 2, (自逆性，方便實現(xiàn))
• 3, 是奇函數(shù)如果為奇數(shù); 是偶函數(shù)如果為偶數(shù)(可實現(xiàn)性)
• 4, 的所有個零點都在頻帶內(nèi)，所有個極點都在帶外(等紋波特性)
• 5, 在通帶范圍擺動幅度在內(nèi)(通帶內(nèi)等紋波特性)
• 6, (低通定義，截止頻率在1)
• 7, 在阻帶范圍擺動幅度在內(nèi)，其中和都在范圍內(nèi)(阻帶內(nèi)等紋波特性)

函數(shù)逼近

對于為偶數(shù)，由約束1, 2, 3, 4可得，有如下形式的多項式結(jié)構(gòu)：

這種結(jié)構(gòu)特點是零極點相互關(guān)系固定，當確定了零點位置那么極點位置也就確定了，并且通帶和阻帶零極點關(guān)于對稱。

為簡便直觀起見，這里對進行函數(shù)逼近。

繪出得草圖，得到：

和之前切比雪夫逼近類似，首先建立微分關(guān)系，從圖中可以觀察到對于階的函數(shù)，其通帶內(nèi)極值點在值為1處有個(圖中的和)，在通帶內(nèi)值為-1處的極值點有個(圖中的, 和)；在阻帶值為處有個(圖中的和)，在阻帶值為處有個(圖中的, 和)，在阻帶的極值點可以通過約束4來推導(dǎo)，個數(shù)同通帶內(nèi)極值點。圖中所有極值點都用紅色字符標注，注意無窮只算一個極值點。對于階函數(shù)，總的極值點有個。函數(shù)求導(dǎo)并平方后的極值點個數(shù)為。

所有極值點都位于函數(shù)值等于和處，另外再除掉頻率為和的4個點(圖中的和)。

所以最終函數(shù)求導(dǎo)后再平方結(jié)果如下：

上式為常數(shù)，化簡得到：

整理得到：

令，再次整理得到最終標準微分方程：

對上式兩邊積分，得到第一類橢圓積分標準形式，具體求解過程見《濾波器設(shè)計中的橢圓函數(shù)講解》，最終得到濾波器特征方程為：

是雅克比橢圓函數(shù)，類比于三角余弦函數(shù)，可以看到其方程形式和切比雪夫濾波器特征方程(15)一樣。

濾波器頻率響應(yīng):

式中, , 繪圖得到：

對于其他階橢圓函數(shù)濾波器，令并且，其特征函數(shù)標準微分方程為：

上式是一個中間變量，便于分析和后續(xù)處理，最終特征函數(shù)為：

總結(jié)

本章節(jié)對巴特沃斯(Butterworth)、切比雪夫(Chebyshev)、橢圓函數(shù)(Elliptic Function/Cauer)濾波器綜合中的逼近方法進行了講解，并且做了一些拋磚引玉式的擴展，總體來說函數(shù)逼近論比較復(fù)雜，比如對切比雪夫濾波器得擴展就在奇數(shù)階設(shè)計綜合中遇到了困難，這里涉及到比較多的雅可比橢圓函數(shù)的知識。后續(xù)的其他濾波器綜合類文章，都是按照濾波器綜合流程來行文，這樣更加系統(tǒng)和連貫。