柵線(xiàn)投影可能在其他領(lǐng)域更多的被成為面結(jié)構(gòu)光，其和DIC或者線(xiàn)結(jié)構(gòu)光技術(shù)相比，有著一些優(yōu)點(diǎn)：測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)多，由于柵線(xiàn)投影技術(shù)是逐像素點(diǎn)進(jìn)行獨(dú)立求解的（相移方法），所以其可以獲得大量的獨(dú)立點(diǎn)云數(shù)據(jù)，以2048*2448的相機(jī)為例，其可以獲得500萬(wàn)級(jí)別的數(shù)據(jù)量，但是對(duì)于線(xiàn)結(jié)構(gòu)光，一般只能獲得2048或2448的有限倍的數(shù)據(jù)量。 但是，從另一方面而言，固體力學(xué)中主要利用lagrange描述方法的理論，而并不是這種Euler描述，雖然二者之間有著轉(zhuǎn)換理論，但是有著一定的不直觀(guān)性。而且當(dāng)位移是發(fā)生在面內(nèi)而不是離面時(shí)，柵線(xiàn)投影的測(cè)量不敏感（所以DIC和柵線(xiàn)投影的結(jié)合也是一個(gè)發(fā)展趨勢(shì)）。 下面就講一下柵線(xiàn)投影的相關(guān)理論。 ?

基本原理

柵線(xiàn)投影法實(shí)質(zhì)也是一種三角測(cè)量方式，通過(guò)投影儀和相機(jī)光軸呈一定角度來(lái)構(gòu)建搭建三角關(guān)系。其反映在具體圖像中，可以認(rèn)為原本均勻分布的柵線(xiàn)，因?yàn)槿顷P(guān)系的存在，被物體表面的高度信息調(diào)制為特殊的柵線(xiàn)模式（發(fā)生了一定的彎曲變形），如圖所示。示意圖中被測(cè)物體選擇了二元高斯密度函數(shù)。

三角關(guān)系示意圖 ?

相位高度關(guān)系

柵線(xiàn)投影法的測(cè)量系統(tǒng)一般由投影儀和相機(jī)兩個(gè)部件組成。其中投影儀負(fù)責(zé)向被測(cè)量物體表面投射特定模式的柵線(xiàn)圖案，相機(jī)負(fù)責(zé)采集被投射物體表面的圖像。部分情形下還會(huì)在被測(cè)量物體后引入一個(gè)平面作為載波平面，但是即使不引入，在求解時(shí)也可以假設(shè)一個(gè)虛平面，不影響系統(tǒng)的測(cè)量。 系統(tǒng)的光路圖如下圖所示（一般來(lái)說(shuō)相機(jī)光軸和投影儀光軸不可能共面，當(dāng)不共面同樣可以推導(dǎo)，這里為了展示線(xiàn)性關(guān)系所以建立了比較簡(jiǎn)單的模型）。其中P為投影儀光心，C為相機(jī)光心。O為相機(jī)光軸和投影儀光軸的交點(diǎn)。設(shè)通過(guò)O點(diǎn)的水平平面為計(jì)算中基準(zhǔn)X軸。L1和L2分別為相機(jī)光心和投影儀光心到X軸的距離。d為相機(jī)光心到投影儀光心沿X軸方向的距離。A-B-0平面為假設(shè)的虛平面，所假設(shè)的虛平面平行于投影儀光心和相機(jī)光心的連接線(xiàn)PC。

基本光路圖 首先由平行相似關(guān)系可得虛平面到PC的距離為下：

其中??為??點(diǎn)至??的距離，在后文中，形如??的表達(dá)式均代表距離。考慮物體上的任意一點(diǎn)??,其中點(diǎn)??與點(diǎn)??分別為相機(jī)和投影儀通過(guò)點(diǎn)??在虛平面上的投影。由于??相似于??，故有以下比例關(guān)系：

故我們可以從方程中解出高度??的表達(dá)式，如下：

由于在實(shí)際測(cè)量中，??遠(yuǎn)小于??，故可以忽略其在分母中的存在，將上述公式簡(jiǎn)化如下：

若投影儀投射出的光柵圖案具有固定的周期，由于平面（理想的DLP微鏡陣列）至平面的投影為線(xiàn)性映射，故圖案映射在虛平面上也具有固定的周期。在投影的圖案中引入線(xiàn)性的相位 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??信息，綜上所述??與??也呈線(xiàn)性關(guān)系，即： 其中??為B點(diǎn)與A點(diǎn)之間的相位差距，??為Q點(diǎn)與A點(diǎn)之間的相位差距。注意到此理想情況下，以虛平面為基準(zhǔn)面，當(dāng)??時(shí)，??，故其為常數(shù)項(xiàng)為0的線(xiàn)性關(guān)系。而在具體實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)標(biāo)定時(shí)，所設(shè)置的標(biāo)定零平面與虛平面往往不重合，其表達(dá)式之間存有一個(gè)線(xiàn)性轉(zhuǎn)化關(guān)系，故實(shí)際的??與??的線(xiàn)性關(guān)系常數(shù)項(xiàng)不為0，即可進(jìn)一步表達(dá)為： 其中??為標(biāo)定零平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的參考相位，k與b為系統(tǒng)的測(cè)量標(biāo)定系數(shù)。上式表明，對(duì)于物體表面任意一點(diǎn)的高度??，與相機(jī)采集到的投影圖案所對(duì)應(yīng)的相位值是呈近似線(xiàn)性關(guān)系的。故在測(cè)量中首先對(duì)測(cè)量系統(tǒng)的k與b進(jìn)行標(biāo)定，進(jìn)而只需要求解出物體表面每一點(diǎn)的相位值即可解出物體表面的三維形貌。 較為特殊的，在力學(xué)領(lǐng)域往往更關(guān)心物體的變形信息而不是形貌，在此情況下有： 故若只關(guān)心位移，僅需要對(duì)測(cè)量系統(tǒng)中的k參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定即可。
? 柵線(xiàn)投影系統(tǒng)的平面標(biāo)定

當(dāng)前對(duì)于測(cè)量系統(tǒng)標(biāo)定的方法主要有兩類(lèi)。第一類(lèi)是將相機(jī)、投影儀的內(nèi)參與外參全都標(biāo)定出來(lái)，即分別明確投影儀和相機(jī)在空間內(nèi)的3個(gè)空間坐標(biāo)，3個(gè)光軸方向坐標(biāo)和一個(gè)傳感器角度坐標(biāo)，通過(guò)標(biāo)定出這些參數(shù)，則能夠直接將柵線(xiàn)相位和高度之間的關(guān)系計(jì)算出來(lái)。第二類(lèi)是平面標(biāo)定，即通過(guò)一個(gè)平面標(biāo)定板，對(duì)空間不同位置進(jìn)行多次標(biāo)定，從而建立相位差值和高度之間的關(guān)系。兩種方法相比，雖然平面標(biāo)定需要一個(gè)高精度的平移臺(tái)做硬件支撐，但其操作簡(jiǎn)單，計(jì)算精度高，是比較常用的一種方法。投影儀相機(jī)聯(lián)合標(biāo)定將在以后的文章中敘述。

同坐標(biāo)相位標(biāo)定方法

同坐標(biāo)相位標(biāo)定算法是一種基于相機(jī)同一個(gè)像素點(diǎn)的標(biāo)定方法。這種方法采用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)平面與一個(gè)平移臺(tái)。其中平移臺(tái)的精度越高越好，因?yàn)橄到y(tǒng)的測(cè)量精度取決于平移臺(tái)的位移精度。其原理圖如下所示。

同坐標(biāo)相位標(biāo)定方法示意圖 對(duì)于相機(jī)的某一個(gè)像素而言，當(dāng)標(biāo)定板位于??和??位置時(shí)采集的相位為??和??。注意這里的相位是投影儀的總相位，即通過(guò)投影儀投射一根標(biāo)準(zhǔn)亮條紋確定真實(shí)相位所在的周期，再以該周期為起始區(qū)域向四周解包裹得到所用的相位。對(duì)于被測(cè)量實(shí)際物體上的一點(diǎn)，由于相似關(guān)系有：

故對(duì)于該點(diǎn)處實(shí)測(cè)到的相位??，可求算處其相對(duì)于標(biāo)定零位面的高度為：

可以看出，二者之間呈一定線(xiàn)性關(guān)系。一般來(lái)說(shuō)，由于可能存在環(huán)境振動(dòng)和電子元器件噪音，用兩個(gè)標(biāo)定面所得到的標(biāo)定結(jié)果不一定精確。故可以增加多個(gè)標(biāo)定平面，利用最小二乘技術(shù)直接去將二者線(xiàn)性關(guān)系的參數(shù)擬合出來(lái)即可。 等相位坐標(biāo)標(biāo)定方法 等相位坐標(biāo)標(biāo)定算法是一種基于相機(jī)不同像素點(diǎn)尋找等相位距離的標(biāo)定方法。其所需要的實(shí)驗(yàn)硬件與上一方法一致。其原理如下所示。

等相位坐標(biāo)標(biāo)定方法示意圖 與前文方法所不同的是，先前為固定對(duì)相機(jī)的每個(gè)像素進(jìn)行進(jìn)行標(biāo)定，本方法的實(shí)質(zhì)為固定對(duì)投影儀的每個(gè)像素進(jìn)行標(biāo)定。由于每個(gè)像素所對(duì)應(yīng)的相位值是一定的，故將其稱(chēng)為等相位坐標(biāo)標(biāo)定。對(duì)于某一相位值而言，其對(duì)應(yīng)在兩個(gè)標(biāo)定平面上的位置分別為??與??。同樣利用相似性比例關(guān)系有：

故對(duì)于該點(diǎn)處實(shí)測(cè)到的相位??，記錄其像素位置，再根據(jù)標(biāo)定找出相同相位對(duì)應(yīng)的位置??與??，即可求算處其相對(duì)于標(biāo)定零位面的高度為：

本標(biāo)定方法的相位值，與前文方法相同，同樣通過(guò)投影儀投射一根標(biāo)準(zhǔn)亮條紋確定真實(shí)相位所在的周期，再以該周期為起始區(qū)域向四周解包裹得到所用的相位。相位??與其所在的位置??呈一定線(xiàn)性關(guān)系。為了提高標(biāo)定精度，一般同樣增加多個(gè)標(biāo)定平面，利用最小二乘技術(shù)直接去將線(xiàn)性參數(shù)進(jìn)行擬合。 等相位坐標(biāo)標(biāo)定算法與同坐標(biāo)相位標(biāo)定算法相比，可有效消除由于高階諧波不當(dāng)引起的誤差（高階諧波對(duì)于測(cè)量的影響會(huì)在今后的文章中介紹）。這是因?yàn)榈认辔蛔鴺?biāo)標(biāo)定算法在標(biāo)定中將這一誤差也耦合在里標(biāo)定關(guān)系中，這是同坐標(biāo)相位標(biāo)定算法所不能實(shí)現(xiàn)的。但是由于等相位坐標(biāo)標(biāo)定算法需要亞像素定位，其定位由于只能通過(guò)插值來(lái)實(shí)現(xiàn)，故定位精度較差會(huì)對(duì)實(shí)際測(cè)量精度產(chǎn)生負(fù)面影響。

編輯：黃飛