一、什么是微分算子符號(hào)？

描述線(xiàn)性系統(tǒng)的激勵(lì)函數(shù)和響應(yīng)函數(shù)間關(guān)系的微分方程，具有以下形式：

式中為時(shí)域中的微分算子符號(hào)，當(dāng)它們作用于某一時(shí)間函數(shù)時(shí)，該函數(shù)就要對(duì)時(shí)間變量t分別進(jìn)行一次和n此微分運(yùn)算。現(xiàn)在為了方便計(jì)算，

把微分算自符號(hào)用p來(lái)代表，即令：

把積分算子用1/p來(lái)代表，即令：

于是有：

利用這樣的符號(hào)，積分微分方程或微分方程就可以用較為簡(jiǎn)化的形式寫(xiě)出。

或者仿照代數(shù)方程把公共因子提出來(lái)的方法，還可以寫(xiě)成：

在這里，雖然把微分算子符號(hào)p像代數(shù)量那樣處理，但是不要忘記它不是代數(shù)量。因此，例如

這樣的式子中，

并不是用來(lái)與函數(shù)x相乘的代數(shù)量，而它作為一個(gè)整體，是一個(gè)作用在函數(shù)x的運(yùn)算符號(hào)，代表著一定的運(yùn)算過(guò)程，即

利用算子符號(hào)把微分方程寫(xiě)成代數(shù)方程的算子方程，于是就會(huì)自然地闡述這樣的一個(gè)問(wèn)題，即代數(shù)方程中的運(yùn)算規(guī)則在算子方程中是否適用？

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題的回答是：一般適用，但有例外。

例如，在代數(shù)方程中有關(guān)系

在算子方程中關(guān)系

是否也成立呢？只要加以運(yùn)算檢驗(yàn)，就可以證明這關(guān)系是成立的。證明如下

把這檢驗(yàn)法加以推廣，不難得出結(jié)論，即由p的多項(xiàng)式所組成運(yùn)算符號(hào)可以像代數(shù)式那樣進(jìn)行相乘和那樣因子分解。

再例如：

這里也像代數(shù)式中一樣，分子分母中的p可以消去。但是

這里分母和分子中的p一般就不能消去。這表明

也就是說(shuō)，微分和積分的運(yùn)算次序不能任意顛倒，兩種運(yùn)算也不一定能抵消。同樣，若將式

兩邊積分，可得：x=y+c

其中c為積分常數(shù)。由此可見(jiàn)，在等式px=py，雙方的算子p一般也不好消去。

以上說(shuō)明，代數(shù)量的運(yùn)算規(guī)則對(duì)于算子符號(hào)一般也可以應(yīng)用，只是在分子分母中或等式兩邊中相同的算子符號(hào)卻不能隨便消去。

二、微分方程的算子形式和拉普拉斯變換式之間的是什么關(guān)系？

描述系統(tǒng)的輸入輸出的微分方程一般形式有：

把左右兩邊p的多項(xiàng)式分別記為D(p)和N(P)，則有

D(p)r(t)=N(P)e(t)

這一微分方程又可進(jìn)一步寫(xiě)成

把p的分式N(p)/D(p)定義為轉(zhuǎn)移算子H(p)，即H(p)=N(p)/D(p)

于是，在時(shí)域中響應(yīng)函數(shù)與激勵(lì)函數(shù)之間的關(guān)系，就可用以下簡(jiǎn)明的一般形式表示：r(t)=H(p)e(t)

當(dāng)求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)時(shí)，激勵(lì)函數(shù)e(t)為零，就要解齊次方程

D(p)r(t)=0

當(dāng)求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)，則要解非齊次方程

r(t)=H(p)e(t)

把微分方程的時(shí)域算子的形式與拉普拉斯的變換式相比較，將下式進(jìn)行拉普拉斯變換，得

把此等式左邊s得多項(xiàng)式記為D(s),右邊s得多項(xiàng)式記為N(s)，則有

D(s)R(s)=N(s)E(s)

或者R(s)=N(s)E(s)/D(s)=H(s)E(s)

其中H(s)=N(s)/D(s)為在復(fù)頻域中表示響應(yīng)函數(shù)和激勵(lì)函數(shù)之間關(guān)系的轉(zhuǎn)移函數(shù)。

當(dāng)求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)時(shí)，激勵(lì)函數(shù)E(s)為零，D(s)R(s)=N(s)E(s)成為D(s)R(s)=0。系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)由特征方程D(s)=0的根決定。

當(dāng)求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)，只要將式R(s)=N(s)E(s)/D(s)=H(s)E(s)進(jìn)行拉普拉斯反變換即得。

把拉普拉斯的式子與算子形式的微分方程式相比較，就可以發(fā)現(xiàn)各對(duì)應(yīng)得關(guān)系式之間，具有完全相似得形式。

可以看到，

在拉普拉斯變換式中，R(s)、E(s)、H(s)等都是復(fù)頻率變量s的函數(shù)，H(s)E(s)即表示這兩個(gè)函數(shù)相乘。

而在算子形式的微分方程中，r(t)、e(t)都是時(shí)間函數(shù)，H(p)是時(shí)域中的運(yùn)算符號(hào)，H(p)e(t)并不表示兩個(gè)函數(shù)相乘，而只表示對(duì)方程中的時(shí)間函數(shù)進(jìn)行某種特定的運(yùn)算。

算子形式的微分方程和其拉普拉斯變換式之間的相似性，很自然會(huì)引起人們提出這樣的問(wèn)題，即在求解系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)，是否也具備同樣的相似性？

或者說(shuō)，能不能把拉普拉斯變換中的一套求解法搬過(guò)來(lái)用于時(shí)域中求解微分方程呢？

對(duì)于求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，回答是肯定的。

但是對(duì)于求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，除了兩者均以疊加原理為共同基礎(chǔ)外，在激勵(lì)函數(shù)的分解和系統(tǒng)單元激勵(lì)函數(shù)的響應(yīng)等具體形式上，時(shí)域分析法就不同于復(fù)頻率分析法，然而兩種分析法之間，又存在著密切的關(guān)系。

編輯：jq