引言
DFT（Discrete Fourier Transformation）是數(shù)字信號分析與處理如圖形、語音及圖像等領(lǐng)域的重要變換工具，直接計算DFT的計算量與變換區(qū)間長度N的平方成正比。當(dāng)N較大時，因計算量太大，直接用DFT算法進(jìn)行譜分析和信號的實(shí)時處理是不切實(shí)際的?？焖俑盗⑷~變換（Fast Fourier Transformation，簡稱FFT）使DFT運(yùn)算效率提高1～2個數(shù)量級。其原因是當(dāng)N較大時，對DFT進(jìn)行了基4和基2分解運(yùn)算。FFT算法除了必需的數(shù)據(jù)存儲器ram和旋轉(zhuǎn)因子rom外，仍需較復(fù)雜的運(yùn)算和控制電路單元，即使現(xiàn)在，實(shí)現(xiàn)長點(diǎn)數(shù)的FFT仍然是很困難。本文提出的FFT實(shí)現(xiàn)算法是基于FPGA之上的，算法完成對一個序列的FFT計算，完全由脈沖觸發(fā)，外部只輸入一脈沖頭和輸入數(shù)據(jù)，便可以得到該脈沖頭作為起始標(biāo)志的N點(diǎn)FFT輸出結(jié)果。由于使用了雙ram，該算法是流型（Pipelined）的，可以連續(xù)計算N點(diǎn)復(fù)數(shù)輸入FFT，即輸入可以是分段N點(diǎn)連續(xù)復(fù)數(shù)數(shù)據(jù)流。采用DIF（Decimation In Frequency）-FFT和DIT（Decimation In Time）-FFT對于算法本身來說是無關(guān)緊要的，因?yàn)閮煞N情況下只是存儲器的讀寫地址有所變動而已，不影響算法的結(jié)構(gòu)和流程，也不會對算法復(fù)雜度有何影響。算法實(shí)現(xiàn)的可以是基2/4混合基FFT，也可以是純基4FFT和純基2FFT運(yùn)算。
傅立葉變換和逆變換
對于變換長度為N的序列x（n）其傅立葉變換可以表示如下：
［td］N
［td］nk
［/tr］
X（k）=DFT［x（n）］=［td］Σ［td］x（n）W［/tr］
［td］n=0［td］［/tr］
式（１）
其中，W=exp（-2π/N）。
當(dāng)點(diǎn)數(shù)N較大時，必須對式（1）進(jìn)行基4/基2分解，以短點(diǎn)數(shù)實(shí)現(xiàn)長點(diǎn)數(shù)的變換。而IDFT的實(shí)現(xiàn)在DFT的基礎(chǔ)上就顯得較為簡單了：
式（２）
由式（2）可以看出，在FFT運(yùn)算模塊的基礎(chǔ)上，只需將輸入序列進(jìn)行取共軛后再進(jìn)行FFT運(yùn)算，輸出結(jié)果再取一次共軛便實(shí)現(xiàn)了對輸入序列的IDFT運(yùn)算，因子1/N對于不同的數(shù)據(jù)表示格式具體實(shí)現(xiàn)時的處理方式是不一樣的。IDFT在FFT的基礎(chǔ)上輸入和輸出均有一次共軛操作，但它們共用一個內(nèi)核，仍然是十分方便的。
基4和基2
基4和基2運(yùn)算流圖及信號之間的運(yùn)算關(guān)系如圖1所示：

（a）基４蝶形算法
（b）基２蝶形算法
以基4為例，令A(yù)=r0+j×i0；B=r1+j×i1；C=r2+j×i2；D=r3+j×i3；Wk0=c0+j×s0：Wk1=c1+j×s1；Wk2=c2+j×s2；Wk3=c3+j×s3。分別代入圖1中的基4運(yùn)算的四個等式中有：
A‘=［r0+（r1×c1-i1×s1）+（r2×c2-i2×s2）+（r3×c3-i3×s3）］+j［i0+（i1×c1+r1×s1）+（i2×c2+r2×s2）+（i3×c3+r3×s3）］ 式（3）
B’=［r0+（i1×c1+r1×s1）-（r2×c2-i2×s2）-（i3×c3+r3×s3）］+j［i0-（r1×c1-i1×s1）-（i2×c2+r2×s2）+（r3×c3-i3×s3）］ 式（4）
C‘=［r0-（r1×c1-i1×s1）+（r2×c2-i2×s2）-（r3×c3-i3×s3）］+j［i0-（i1×c1+r1×s1）+（i2×c2+r2×s2）-（i3×c3+r3×s3）］ 式（5）
D’=［r0-（i1×c1+r1×s1）-（r2×c2-i2×s2）+（i3×c3+r3×s3）］+j［i0+（r1×c1-i1×s1）-（i2×c2+r2×s2）-（r3×c3-i3×s3）］ 式（6）
可以看出，式（3）至式（6）有多個公共項(xiàng)和類似項(xiàng)，這一點(diǎn)得到充分利用之后可以大大縮減基4和基2運(yùn)算模塊中的乘法器的個數(shù)，如上面A‘至D’的四個等式中的這三對類似項(xiàng)：（r1×c1-i1×s1）與（i1×c1+r1×s1）、（r2×c2-i2×s2）與（i2×c2+r2×s2）、（r3×c3-i3×s3）與（i3×c3+r3×s3）以高于輸入數(shù)據(jù)率的時鐘進(jìn)行時分復(fù)用，最終可以做到只需要3個甚至1個復(fù)數(shù)乘法器便可以實(shí)現(xiàn)?；?運(yùn)算之所以采用圖1-（b）中的形式進(jìn)行基2運(yùn)算，是為了將基本模塊做成基4/2復(fù)用模塊，它對于N有著更大的適用性和可借鑒性。在基4、基2和基4/2模塊的基礎(chǔ)上，構(gòu)建基16、基8和基16/8模塊有著非常大的意義。
算法實(shí)現(xiàn)
傅立葉變換實(shí)現(xiàn)時首先進(jìn)行基2、基4分解，一般來說，如果算法使用基4實(shí)現(xiàn)，雖然使用的資源多了一些，但速度上的好處足以彌補(bǔ)。如果資源充足，使用基16、基8或基16/8復(fù)用模塊，速度可以大大提高。一般FFT實(shí)現(xiàn)簡單框圖如圖2所示。

在圖2中，運(yùn)算模塊即為基2/4/8/16模塊或它們的復(fù)用模塊，Rom表中存儲的是N點(diǎn)旋轉(zhuǎn)因子表?？刂颇K產(chǎn)生所有的控制信號，存儲器1和2的讀寫地址、寫使能、運(yùn)算模塊的啟動信號及因子表的讀地址等信號。當(dāng)然對于運(yùn)算模塊為基16/8復(fù)用模塊時，控制模塊就需要產(chǎn)生模式選擇信號，如對于運(yùn)算模塊是基4/2模塊時，該信號就決定了內(nèi)部運(yùn)算模塊是進(jìn)行基4運(yùn)算還是基2運(yùn)算。存儲器1作為當(dāng)前輸入標(biāo)志對應(yīng)輸入N點(diǎn)數(shù)據(jù)的緩沖器，存儲器2作為中間結(jié)果存儲器，用于存儲運(yùn)算模塊計算出的各Pass的結(jié)果。在圖中的各種地址、使能和數(shù)據(jù)的緊密配合下，經(jīng)過一定延時后輸出計算結(jié)果及其對應(yīng)指示標(biāo)志。圖2只是一定點(diǎn)或浮點(diǎn)的FFT實(shí)現(xiàn)模塊，如果是塊浮點(diǎn)運(yùn)算，則必須加入一個數(shù)據(jù)因子控制器，控制每遍運(yùn)算過程中的數(shù)據(jù)大小，并根據(jù)各個Pass的乘性因子之和的大小，對最終輸出進(jìn)行大小控制，以保證每段FFT運(yùn)算輸出增益一致。
外部輸入為N點(diǎn)數(shù)據(jù)段流和啟動信號（N點(diǎn)之間如無間隔，則每N數(shù)據(jù)點(diǎn)輸入一脈沖信號），一方面，外部數(shù)據(jù)存入存儲器1中，同時通過控制模塊的控制，讀出存儲器1中的前段N點(diǎn)數(shù)據(jù)和Rom表中的因子及相關(guān)控制信號送入運(yùn)算核心模塊進(jìn)行各個Pass的運(yùn)算，每個Pass的輸出都存入存儲器2中，最后一個Pass的計算結(jié)果存入存儲器2中，并在下一個啟動頭到來后，輸出計算結(jié)果。對圖2的實(shí)現(xiàn)，除去運(yùn)算模塊，關(guān)鍵是各個Pass數(shù)據(jù)因子讀寫地址及控制信號的配合。
速度、資源和精度
假定輸入數(shù)據(jù)的速率為fin，則每數(shù)據(jù)的持續(xù)時間T=1/fin，運(yùn)算模塊的計算時鐘頻率為fa，對于N（N=2p，p即為Pass數(shù)目）點(diǎn)FFT計算時延與Pass數(shù)目直接相關(guān)。如果使用基2運(yùn)算不考慮控制開銷，純粹的計算時延為td=p×N×T×fin/fa。顯然在fa》p× fin時，在N點(diǎn)內(nèi)可完成FFT運(yùn)算。否則不能完成，即不能實(shí)現(xiàn)流型的變換。這在N很大且輸入數(shù)據(jù)速率較高時以FPGA實(shí)現(xiàn)幾乎是不可能的，而且內(nèi)部計算時鐘過高容易導(dǎo)致電路的工作不穩(wěn)定。設(shè)基2時的最小可流型工作運(yùn)算頻率為fa0，則使用基4實(shí)現(xiàn)流型的變換，計算時鐘fa= fa0就可以。而使用基8時計算時鐘fa= fa0便可完成，基16時為fa0的1/4。上面所討論的是純基運(yùn)算，當(dāng)N不為4的冪次方時（如N=2048=16×16×8，運(yùn)算模塊為基16/8復(fù)用模塊），而又希望使用較低倍的時鐘完成運(yùn)算時，圖2中的運(yùn)算模塊必然包括基4/2復(fù)用模塊（即基16/8復(fù)用模塊），這也就是前面提到復(fù)用模塊的主要用意。由上面的分析可以得出結(jié)論，如果計算使用的基越大，完成速度越快。
但是，使用基16/8模塊所使用的邏輯資源要比基4/2模塊多將近一倍，這是因?yàn)榛?6/8復(fù)用模塊是以基4模塊和基4/2復(fù)用模塊構(gòu)建而成。當(dāng)然，可以直接實(shí)現(xiàn)基16/8復(fù)用模塊，但用FPGA很難解決復(fù)雜度和成本問題。另外，如果流型運(yùn)算間隔比N點(diǎn)數(shù)據(jù)長度長一倍以上，可以考慮在較低的計算時鐘下使用基2運(yùn)算模塊實(shí)現(xiàn)流型FFT。
運(yùn)算結(jié)果的精度直接與計算過程中數(shù)據(jù)和因子位數(shù)（浮點(diǎn)算法）相關(guān)，如果中間計算的位數(shù)、存儲數(shù)據(jù)位數(shù)和Rom表中的位數(shù)越大，輸出精度就越大。當(dāng)然，位數(shù)增大后邏輯運(yùn)算資源和存儲資源都會直線上升。
浮點(diǎn)、塊浮點(diǎn)和定點(diǎn)FFT
根據(jù)運(yùn)算過程中對數(shù)據(jù)位數(shù)取位和表示形式的不同，可以將FFT分為浮點(diǎn)FFT、塊浮點(diǎn)FFT和定點(diǎn)FFT。它們在實(shí)現(xiàn)時對于系統(tǒng)資源的要求是不同的，而且有著不同的適用范圍。
浮點(diǎn)FFT是基于數(shù)據(jù)表示為浮點(diǎn)的基礎(chǔ)之上的，即數(shù)據(jù)是由一純小數(shù)和一因子組成，輸入要轉(zhuǎn)成純小數(shù)和因子的浮點(diǎn)表示形式，所有計算過程中保存應(yīng)得計算結(jié)果大小，而輸出要變成所需大小的定點(diǎn)表示形式。只要因子位數(shù)足夠大，浮點(diǎn)FFT計算是不會溢出的。而定點(diǎn)則是所有計算過程中都是定點(diǎn)運(yùn)算，如果各個Pass的截位規(guī)則不適當(dāng)，很容易出現(xiàn)溢出，必須要有溢出控制。塊浮點(diǎn)是介于它們之間的一種運(yùn)算機(jī)制，它是根據(jù)本Pass的輸入數(shù)據(jù)的大小，在計算之前進(jìn)行控制（數(shù)據(jù)上移一比特或下移一比特或乘以一特定因子），可以保證不溢出，但一般也需要溢出控制。
浮點(diǎn)運(yùn)算沒有溢出，信號平均信噪比高，但由于因子的運(yùn)算必然導(dǎo)致電路復(fù)雜，實(shí)現(xiàn)困難。定點(diǎn)運(yùn)算實(shí)現(xiàn)簡單，難以保證不溢出，需要統(tǒng)計得出合適的截位規(guī)則，否則溢出嚴(yán)重導(dǎo)致輸出結(jié)果錯誤。塊浮點(diǎn)由于每個Pass（包括最后輸出前）結(jié)束后有一統(tǒng)計控制過程，延時較大，但是可以保證不溢出而且電路又相對浮點(diǎn)來說簡單得多。
應(yīng)根據(jù)具體應(yīng)用的具體要求，選擇合適的FFT。如果要求精度，并且要解決頻域很高的單頻干擾，就必須使用浮點(diǎn)的FFT，使用數(shù)據(jù)位數(shù)很大的定點(diǎn)和塊浮點(diǎn)也能解決這個問題，但位數(shù)的確定十分困難。如果不要求高精度，邏輯資源和Rom比較緊張，可考慮定點(diǎn)運(yùn)算。如果輸入在頻域集中于幾個點(diǎn)上或者對精度要求一般，可以慢速處理，可以采用塊浮點(diǎn)運(yùn)算，就能夠保證這幾點(diǎn)的信噪比，而忽略其他點(diǎn)處的信噪比。