什么是卡爾曼濾波

　　卡爾曼濾波（Kalman filtering）一種利用線(xiàn)性系統(tǒng)狀態(tài)方程，通過(guò)系統(tǒng)輸入輸出觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)，對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)的算法。由于觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)中包括系統(tǒng)中的噪聲和干擾的影響，所以最優(yōu)估計(jì)也可看作是濾波過(guò)程。

　　斯坦利·施密特（Stanley Schmidt）首次實(shí)現(xiàn)了卡爾曼濾波器?？柭?a href="http://m.brongaenegriffin.com/tags/nas/" target="_blank">NASA埃姆斯研究中心訪(fǎng)問(wèn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)他的方法對(duì)于解決阿波羅計(jì)劃的軌道預(yù)測(cè)很有用，后來(lái)阿波羅飛船的導(dǎo)航電腦使用了這種濾波器。 關(guān)于這種濾波器的論文由Swerling （1958）， Kalman （1960）與 Kalman and Bucy （1961）發(fā)表。

　　數(shù)據(jù)濾波是去除噪聲還原真實(shí)數(shù)據(jù)的一種數(shù)據(jù)處理技術(shù)， Kalman濾波在測(cè)量方差已知的情況下能夠從一系列存在測(cè)量噪聲的數(shù)據(jù)中，估計(jì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)。 由于， 它便于計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)， 并能夠?qū)ΜF(xiàn)場(chǎng)采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)時(shí)的更新和處理， Kalman濾波是目前應(yīng)用最為廣泛的濾波方法， 在通信， 導(dǎo)航， 制導(dǎo)與控制等多領(lǐng)域得到了較好的應(yīng)用。

　　應(yīng)用

　　卡爾曼濾波的一個(gè)典型實(shí)例是從一組有限的，對(duì)物體位置的，包含噪聲的觀(guān)察序列中預(yù)測(cè)出物體的坐標(biāo)位置及速度。在很多工程應(yīng)用（雷達(dá)、計(jì)算機(jī)視覺(jué)）中都可以找到它的身影。同時(shí)，卡爾曼濾波也是控制理論以及控制系統(tǒng)工程中的一個(gè)重要話(huà)題。

　　比如，在雷達(dá)中，人們感興趣的是跟蹤目標(biāo)，但目標(biāo)的位置、速度、加速度的測(cè)量值往往在任何時(shí)候都有噪聲。卡爾曼濾波利用目標(biāo)的動(dòng)態(tài)信息，設(shè)法去掉噪聲的影響，得到一個(gè)關(guān)于目標(biāo)位置的好的估計(jì)。這個(gè)估計(jì)可以是對(duì)當(dāng)前目標(biāo)位置的估計(jì)（濾波），也可以是對(duì)于將來(lái)位置的估計(jì)（預(yù)測(cè)），也可以是對(duì)過(guò)去位置的估計(jì)（插值或平滑）。

　　擴(kuò)展卡爾曼濾波（EXTEND KALMAN FILTER， EKF）

　　擴(kuò)展卡爾曼濾波器

　　是由kalman filter考慮時(shí)間非線(xiàn)性的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，常應(yīng)用于目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)。

　　卡爾曼濾波器概述

　　簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，卡爾曼濾波器是一個(gè)“optimal recursive data processing algorithm（最優(yōu)化自回歸數(shù)據(jù)處理算法）”。對(duì)于解決很大部分的問(wèn)題，他是最優(yōu)，效率最高甚至是最有用的。他的廣泛應(yīng)用已經(jīng)超過(guò)30年，包括機(jī)器人導(dǎo)航，控制，傳感器數(shù)據(jù)融合甚至在軍事方面的雷達(dá)系統(tǒng)以及導(dǎo)彈追蹤等等。近年來(lái)更被應(yīng)用于計(jì)算機(jī)圖像處理，例如頭臉識(shí)別，圖像分割，圖像邊緣檢測(cè)等等。

　　卡爾曼濾波器由一系列遞歸數(shù)學(xué)公式描述，它們提供了一種高效可計(jì)算的方法來(lái)估計(jì)過(guò)程的狀態(tài)，并使估計(jì)均方誤差最小?？柭鼮V波器應(yīng)用廣泛且功能強(qiáng)大，它可以估計(jì)信號(hào)的過(guò)去和當(dāng)前狀態(tài)，甚至能估計(jì)將來(lái)的狀態(tài)，即使并不知道模型的確切性質(zhì)。

　　假設(shè)我們要研究的對(duì)象是一個(gè)房間的溫度。根據(jù)你的經(jīng)驗(yàn)判斷，這個(gè)房間的溫度是恒定的，也就是下一分鐘的溫度等于現(xiàn)在這一分鐘的溫度（假設(shè)我們用一分鐘來(lái)做時(shí)間單位）。假設(shè)你對(duì)你的經(jīng)驗(yàn)不是100%的相信，可能會(huì)有上下偏差幾度。我們把這些偏差看成是高斯白噪聲（White Gaussian Noise），也就是這些偏差跟前后時(shí)間是沒(méi)有關(guān)系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。另外，我們?cè)诜块g里放一個(gè)溫度計(jì)，但是這個(gè)溫度計(jì)也不準(zhǔn)確的，測(cè)量值會(huì)比實(shí)際值偏差。我們也把這些偏差看成是高斯白噪聲。

　　3 現(xiàn)在對(duì)于某一分鐘我們有兩個(gè)有關(guān)于該房間的溫度值：你根據(jù)經(jīng)驗(yàn)的預(yù)測(cè)值（系統(tǒng)的預(yù)測(cè)值）和溫度計(jì)的值（測(cè)量值）。下面我們要用這兩個(gè)值結(jié)合他們各自的噪聲來(lái)估算出房間的實(shí)際溫度值。

　　假如我們要估算k時(shí)刻的是實(shí)際溫度值。首先你要根據(jù)1k?時(shí)刻的溫度值，來(lái)預(yù)測(cè)k時(shí)刻的溫度。因?yàn)槟阆嘈艤囟仁呛愣ǖ模阅銜?huì)得到k時(shí)刻的溫度預(yù)測(cè)值是跟1k?時(shí)刻一樣的，假設(shè)是23度，同時(shí)該值的高斯噪聲的偏差是5度（5是這樣得到的：如果1k?時(shí)刻估算出的最優(yōu)溫度值的偏差是3，你對(duì)自己預(yù)測(cè)的不確定度是4度，他們平方相加再開(kāi)方，就是5）。然后，你從溫度計(jì)那里得到了k時(shí)刻的溫度值，假設(shè)是25度，同時(shí)該值的偏差是4度。

　　由于我們用于估算k時(shí)刻的實(shí)際溫度有兩個(gè)溫度值，分別是23度和25度。究竟實(shí)際溫度是多少呢？相信自己還是相信溫度計(jì)呢？究竟相信誰(shuí)多一點(diǎn)，我們可以用他們的協(xié)方差來(lái)判斷。因?yàn)?52（5242）Kg??????，所以0.78Kg?，我們可以估算出k時(shí)刻的實(shí)際溫度值是：230.78（2523）24.56????度。可以看出，因?yàn)闇囟扔?jì)的協(xié)方差比較?。ū容^相信溫度計(jì)），所以估算出的最優(yōu)溫度值偏向溫度計(jì)的值。

　　現(xiàn)在我們已經(jīng)得到k時(shí)刻的最優(yōu)溫度值了，下一步就是要進(jìn)入1k?時(shí)刻，進(jìn)行新的最優(yōu)估算。到現(xiàn)在為止，好像還沒(méi)看到什么自回歸的東西出現(xiàn)。對(duì)了，在進(jìn)入1k?時(shí)刻之前，我們還要算出k時(shí)刻那個(gè)最優(yōu)值（24.56度）的偏差。算法如下：（（1）52）0.52.35Kg。這里的5就是上面的k時(shí)刻你預(yù)測(cè)的那個(gè)23度溫度值的偏差，得出的2.35就是進(jìn)入1k?時(shí)刻以后k時(shí)刻估算出的最優(yōu)溫度值的偏差（對(duì)應(yīng)于上面的3）。

　　就是這樣，卡爾曼濾波器就不斷的把協(xié)方差遞歸，從而估算出最優(yōu)的溫度值。他運(yùn)行的很快，而且它只保留了上一時(shí)刻的協(xié)方差。上面的Kg，就是卡爾曼增益（Kalman Gain）。他可以隨不同的時(shí)刻而改變他自己的值。