我們經(jīng)常想要模擬入射到周期性結構中的電磁波（光、微波），例如衍射光柵、超材料，或頻率選擇表面。這可以使用COMSOL產品庫中的RF或波動光學模塊來完成。兩個模塊都提供了Floquet周期性邊界條件和周期性端口，并將反射和透射衍射級作為入射角和波長的函數(shù)進行計算。本博客將介紹這類分析背后的概念，并將介紹這類問題的設定方法。

場景

首先，讓我們來考慮代表周期性重復晶胞的自由空間平行六面體，平面波沿一個角度入射到其上，如下圖所示。

圖、平面波經(jīng)過周期性重復晶胞的圖示

入射波矢k在全局坐標系中有三個分量，其大小分別是：kx，ky，和kz。該問題可通過在域側面使用周期性邊界條件，并在頂部和底部使用端口邊界條件來模擬。該問題設定最復雜的地方是定義入射波和出射波的方向和偏振。

定義波方向

雖然COMSOL軟件非常靈活，支持對基矢坐標系的任意定義，但在本博客中，我們將選定一個坐標系并始終使用它。入射光的方向由兩個角度定義，α1和α2；以及兩個矢量，n為模擬空間中向外指向的法向，a1為入射面的一個矢量。我們這里所選擇的約定將a1與全局x軸對齊，將n與全局z軸對齊。因此，入射波的波矢與全局z軸之間的夾角為α1，即入射仰角，其中-π/2，α1，意味著垂直入射。入射波矢和全局x軸之間的夾角為入射方位角α2，位于范圍-π/2之內。由該定義，α1和α2的正值表示波沿著x軸和y軸正向傳播。

如要使用入射方向的上述定義，我們需要指定a1矢量。這可以通過選定一個周期性端口參考點來完成，它必須是入射端口的角點之一。軟件使用從該點出發(fā)的面內邊來定義兩個矢量，a1和a2，且a1。在下圖中，我們可以看到滿足這一條件的四組a1和a2。因此，俯瞰z軸及平面時，入射面端口上的周期性端口參考點應為x-y平面左下角的點。通過選擇此點，a1矢量變得與全局x軸對齊。

圖、周期性重復晶胞上的周期性端口參考點圖示

既然選擇了周期性端口參考點而在入射面定義了a1和a2，那么模擬域中出射面的端口也必須定義。法向矢量n指向相反的方向，因此必須調整所選擇的周期性端口參考點。四個角點都無法提供與入射面矢量對齊的a1和a2，因此我們必須選擇這四個點之一，并調整α1和α2的定義。通過在出射面選擇與入射面所選定點完全相反的周期性端口參考點，并將π/2旋轉α2，a1的方向被旋轉到a1，指向與入射面a1相反的方向。由于這種旋轉，模擬域中出射面的α1和α2的正負號發(fā)生了轉換。

圖、周期性重復晶胞中出射面的周期性端口參考點圖示

下一步，考慮一個代表介電半空間的模擬域，在入射和出射端口面之間存在折射率差異，這會使波方向發(fā)生改變，如下圖所示。根據(jù)斯涅耳定律，我們知道折射角為β。這使我們可以計算出射端口處的波矢方向。此外，請注意，即使有額外的介電層夾在兩個半空間之間，這種關系也仍然成立。

圖、斯涅耳定律圖示

總結一下，要定義通過一個晶胞的平面波方向，我們首先需要選擇兩個點，即周期性端口參考點，它們在入射面和出射面的位置完全相反。這些點定義了矢量a1和a2。因此，入射面的α1和α2可以相對于全局坐標系定義。在出射面上，方向角變?yōu)椋害?,out和α2,out。

定義偏振

入射平面波的偏振可以是二者之一，即電場或磁場與x-y平面平行。所有其他偏振，例如圓形或橢圓形，都可以由這二者的線性組合建立。下圖顯示了α2，且磁場與x-y平面平行的情況。當α2時，全局坐標系中的入射和出射端口的磁場大小是(0，1，0)。由于光束旋轉使α2，磁場大小變?yōu)閟in(α2)。對于正交偏振，可以用類似方法定義入射面的電場大小。在出射端口，x-y平面中的場分量可以用相同的方式定義。

圖、周期性重復晶胞中磁場與x-y平面相平行的偏振圖示

到目前為止，我們已經(jīng)看到了如何定義傳播經(jīng)過介電界面周圍晶胞的平面波的方向與偏振。對這類問題，您可以看到案例庫中Fresnel方程模型的結果與解析解一致。

定義衍射級

接下來，讓我們來檢查一下把周期性結構引入模擬域之后會發(fā)生什么變化?？紤]一個入射到下圖周期性結構中、且α1，的平面波。如果波長相對光柵間距足夠短，就可能會存在一個或多個衍射級。要理解這些衍射級，我們必須觀察由矢量n和k所定義的平面，以及由矢量n和k所定義的平面。

圖、平面波衍射圖示

首先，沿著由n和k所定義平面的法向觀察，我們能看到零階透射傳輸模式的存在，其方向如前所述按照斯涅爾定律定義。零階反射分量也存在。結構中也可能存在一些光的吸收，不過未在圖片中顯示。下圖僅顯示了零階透射傳輸模式。間距d是由矢量n和k所定義平面中的周期性。

圖、零階透射傳輸模式圖示

對于足夠短的波長，也可以有更高階的衍射模式。當m時，下圖顯示了這些情況。

圖、短波長的更高階衍射模式圖示

這些模式存在的條件是：mλ0

for:m…

其中m時的情況可以簡化為斯涅耳定律。當βm≠0時，如果光程差等于真空中波長的整數(shù)倍，則發(fā)生相長干涉，m階衍射光束的衍射角為βm。注意，正負m階的個數(shù)無需相同。

下一步，我們沿著由矢量n和k所定義的平面觀察。也就是說，我們將視角繞z軸旋轉，直到入射波矢看上去沿表面的法向。進入此平面的衍射標注為n階光束。注意該平面上的周期性間距w不同，且正負n階的個數(shù)總是相同。

圖、沿矢量n和k所定義平面的衍射

設定周期性端口時，COMSOL會自動計算這些m，n階模式，并定義監(jiān)聽端口，從而可以計算出衍射至每種模式的能量有多少。

最后，我們必須考慮在波發(fā)生衍射后，其偏振可能會經(jīng)歷旋轉。因此，每個衍射級包含兩個正交偏振，面內矢量和面外矢量分量。觀察由n和衍射波矢kD所定義的平面，衍射場可以有兩個分量。面外矢量分量是指偏振方向在衍射面外（由n和k)所定義的平面）的衍射光束，面內矢量分量則為正交偏振。因此，如果面內矢量分量在特定衍射級非零，則意味著入射波在衍射時經(jīng)歷了偏振的旋轉。對于n階模式，類似定義仍然適用。

圖、衍射波的面內矢量和面外矢量圖示

考慮介電基底上的周期性結構。光束以α1入射時，就會有更高的衍射級，對所有衍射級的可視化會變得非常復雜。在下圖中，入射平面波的方向用黃色矢量顯示。n衍射級在正z方向的衍射用藍色箭頭顯示，負z方向的衍射用青綠色箭頭顯示。n階模式的正向衍射顯示為紅色，負向衍射顯示為紫紅色。衍射可以在這些方向的每個方向上發(fā)生，衍射波的偏振方向可以在衍射面內，也可以垂直于衍射面。衍射面本身可以顯示為一個圓弧。注意，在n模式下衍射面在正z和負z方向不同。

圖、對介電基底上所有衍射級的可視化

定義三維周期性結構時，所有端口會自動設定。它們獲取了這些不同的衍射級，并能夠計算每級的場和相對相位。理解這些端口的含義和解釋有助于模擬周期性結構。