關(guān)于本教程

卡爾曼濾波器是一個(gè)簡(jiǎn)單的話題，然而，許多書(shū)籍和教程卻把它講的很復(fù)雜，要讀懂它們需要有深厚的數(shù)學(xué)背景，并且缺乏實(shí)際的例子，幾乎每一本書(shū)籍或教程都把核心思想簡(jiǎn)單明了的卡曼濾波講得比原本更加復(fù)雜。

所以，我決定寫(xiě)一個(gè)簡(jiǎn)單且直觀的教程并附帶一些實(shí)際應(yīng)用例子。 一些例子來(lái)自雷達(dá)通信領(lǐng)域，在該領(lǐng)域卡爾曼濾波被廣泛使用（主要用于目標(biāo)跟蹤）。然而，這里提出的原理可以應(yīng)用于任何需要估計(jì)和預(yù)測(cè)的領(lǐng)域。本教程包括三個(gè)部分：

• 第1部分通過(guò)八個(gè)數(shù)值示例介紹卡爾曼濾波器，這部分不需要先驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)，本教程提供了所有必要的數(shù)學(xué)背景，包括均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差等，閱讀第一部分后，您將能夠理解卡爾曼濾波器的概念，并發(fā)展出“卡爾曼濾波器直覺(jué)”。您還將能夠設(shè)計(jì)一維卡爾曼濾波器。
• 第2部分描述了多維（或多元）卡爾曼濾波器-矩陣表示的卡爾曼濾波器。這部分有點(diǎn)高級(jí)。需要線性代數(shù)的基本知識(shí)（僅矩陣運(yùn)算）。本教程也供了這部分必要的數(shù)學(xué)背景。還包括卡爾曼濾波器的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和動(dòng)態(tài)系統(tǒng)建模。閱讀第二部分后，您將能夠理解卡爾曼濾波器背后的數(shù)學(xué)。您還將能夠設(shè)計(jì)多維卡爾曼濾波器。
• 第3部分描述了非線性卡爾曼濾波器。這一部分對(duì)于掌握卡爾曼濾波器至關(guān)重要，因?yàn)榇蠖鄶?shù)現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)都是非線性的。目前，該部分正在編寫(xiě)過(guò)程中。第3部分將包括擴(kuò)展卡爾曼濾波器、無(wú)中心卡爾曼濾波器和粒子濾波器。

關(guān)于卡爾曼濾波器

大多數(shù)現(xiàn)代系統(tǒng)都有許多傳感器，它們根據(jù)一系列測(cè)量結(jié)果來(lái)估計(jì)隱藏（未知）狀態(tài)。例如，GPS接收機(jī)提供位置和速度估計(jì)，其中位置和速度是隱藏狀態(tài)，衛(wèi)星信號(hào)到達(dá)的差分時(shí)間是測(cè)量值。跟蹤和控制系統(tǒng)的最大挑戰(zhàn)之一是在存在不確定性的情況下提供對(duì)隱藏狀態(tài)的準(zhǔn)確和精確估計(jì)。在GPS接收機(jī)中，測(cè)量不確定性取決于許多外部因素，如熱噪聲、大氣影響、衛(wèi)星位置的微小變化、接收機(jī)時(shí)鐘精度等。

卡爾曼濾波器是最重要和最常見(jiàn)的估計(jì)算法之一?？柭鼮V波器基于不準(zhǔn)確和不確定的測(cè)量結(jié)果產(chǎn)生隱藏變量的估計(jì)。此外，卡爾曼濾波器還可以根據(jù)過(guò)去的估計(jì)預(yù)測(cè)未來(lái)的系統(tǒng)狀態(tài)。

過(guò)濾器以Rudolf E.Kálman（1930年5月19日至2016年7月2日）的名字命名。1960年，卡爾曼發(fā)表了他的著名論文，描述了離散數(shù)據(jù)線性濾波問(wèn)題的遞歸解。

如今，卡爾曼濾波器被用于目標(biāo)跟蹤（雷達(dá)）、定位和導(dǎo)航系統(tǒng)、控制系統(tǒng)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)等等。

預(yù)測(cè)前置要求

在深入了解卡爾曼濾波器的解釋之前，讓我們首先了解預(yù)測(cè)算法的必要性。例如，讓我們考慮一種雷達(dá)跟蹤算法。

跟蹤雷達(dá)向目標(biāo)方向發(fā)送一束筆射束，假設(shè)追蹤周期為5秒，換言之，每隔5秒，雷達(dá)通過(guò)向目標(biāo)方向發(fā)送一個(gè)專(zhuān)用跟蹤波束來(lái)重新追蹤目標(biāo)。發(fā)送波束后，雷達(dá)估計(jì)當(dāng)前目標(biāo)的位置和速度，雷達(dá)還估計(jì)（或預(yù)測(cè)）下一個(gè)追蹤周期目標(biāo)所處的位置。使用牛頓運(yùn)動(dòng)方程可以容易地計(jì)算未來(lái)目標(biāo)位置：

x是目標(biāo)的位置x0是目標(biāo)的初始位置v0是目標(biāo)的初始速度a是目標(biāo)的加速度Δt是時(shí)間間隔（在我們的示例中為5秒）

在三維中，牛頓的運(yùn)動(dòng)方程可以寫(xiě)成方程組：

目標(biāo)參數(shù)[x,y,z,vx,vy,vz,ax,ay,az]稱(chēng)為系統(tǒng)狀態(tài)，當(dāng)前狀態(tài)是預(yù)測(cè)算法的輸入，下一狀態(tài)（下一時(shí)間間隔的目標(biāo)參數(shù)）是算法的輸出。上述方程組稱(chēng)為動(dòng)態(tài)模型（或狀態(tài)空間模型）。動(dòng)態(tài)模型描述了輸入和輸出之間的關(guān)系。讓我們回到我們的例子，如我們所見(jiàn)，如果當(dāng)前狀態(tài)和動(dòng)態(tài)模型已知，則可以輕松預(yù)測(cè)下一個(gè)目標(biāo)狀態(tài)。然而，事實(shí)卻不是這樣的，首先，雷達(dá)測(cè)量值不是絕對(duì)準(zhǔn)確的，它包括隨機(jī)誤差（或不確定性），誤差大小取決于許多參數(shù)，例如雷達(dá)校準(zhǔn)、波束寬度和返回回波的信噪比，測(cè)量中包含的誤差稱(chēng)為測(cè)量噪聲。此外，由于風(fēng)、空氣湍流和飛行員機(jī)動(dòng)等外部因素，目標(biāo)運(yùn)動(dòng)與運(yùn)動(dòng)方程并不嚴(yán)格一致，動(dòng)態(tài)模型誤差（或不確定性）稱(chēng)為過(guò)程噪聲。

由于測(cè)量噪聲和過(guò)程噪聲，估計(jì)的目標(biāo)位置可能遠(yuǎn)離實(shí)際目標(biāo)位置，在這種情況下，雷達(dá)可能會(huì)將跟蹤波束發(fā)送到錯(cuò)誤的方向，從而錯(cuò)過(guò)目標(biāo)。我們需要一種考慮過(guò)程和測(cè)量不確定性的預(yù)測(cè)算法來(lái)提高雷達(dá)跟蹤性能。最廣泛使用的預(yù)測(cè)算法就是

卡爾曼濾波器

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