梯度下降算法的公式非常簡單，”沿著梯度的反方向（坡度最陡）“是我們日常經驗得到的，其本質的原因到底是什么呢？為什么局部下降最快的方向就是梯度的負方向呢？也許很多朋友還不太清楚。沒關系，接下來我將以通俗的語言來詳細解釋梯度下降算法公式的數(shù)學推導過程。

下山問題

假設我們位于黃山的某個山腰處，山勢連綿不絕，不知道怎么下山。于是決定走一步算一步，也就是每次沿著當前位置最陡峭最易下山的方向前進一小步，然后繼續(xù)沿下一個位置最陡方向前進一小步。這樣一步一步走下去，一直走到覺得我們已經到了山腳。這里的下山最陡的方向就是梯度的負方向。

首先理解什么是梯度？通俗來說，梯度就是表示某一函數(shù)在該點處的方向導數(shù)沿著該方向取得最大值，即函數(shù)在當前位置的導數(shù)。

上式中，θ是自變量，f(θ)是關于θ的函數(shù)，θ表示梯度。

如果函數(shù)f(θ)是凸函數(shù)，那么就可以使用梯度下降算法進行優(yōu)化。梯度下降算法的公式我們已經很熟悉了：

其中，θo是自變量參數(shù)，即下山位置坐標，η是學習因子，即下山每次前進的一小步（步進長度），θ是更新后的θo，即下山移動一小步之后的位置。

一階泰勒展開式

這里需要一點數(shù)學基礎，對泰勒展開式有些了解。簡單地來說，一階泰勒展開式利用的就是函數(shù)的局部線性近似這個概念。我們以一階泰勒展開式為例：

不懂上面的公式？沒有關系。我用下面這張圖來解釋。

凸函數(shù)f(θ)的某一小段[θo,θ]由上圖黑色曲線表示，可以利用線性近似的思想求出f(θ)的值，如上圖紅色直線。該直線的斜率等于f(θ)在θo處的導數(shù)。則根據(jù)直線方程，很容易得到f(θ)的近似表達式為：

這就是一階泰勒展開式的推導過程，主要利用的數(shù)學思想就是曲線函數(shù)的線性擬合近似。

梯度下降數(shù)學原理

知道了一階泰勒展開式之后，接下來就是重點了！我們來看一下梯度下降算法是如何推導的。

先寫出一階泰勒展開式的表達式：

其中，θ?θo是微小矢量，它的大小就是我們之前講的步進長度η，類比于下山過程中每次前進的一小步，η為標量，而θ?θo的單位向量用v表示。則θ?θo可表示為：

特別需要注意的是，θ?θo不能太大，因為太大的話，線性近似就不夠準確，一階泰勒近似也不成立了。替換之后，f(θ)的表達式為：

重點來了，局部下降的目的是希望每次θ更新，都能讓函數(shù)值f(θ)變小。也就是說，上式中，我們希望f(θ)